Движенья… нет?!

— Машины-переводчики, машины-шахматисты, думающие машины, машины-творцы — всё это миф!

— ?!!

— Давным-давно пора прекратить болтовню о необыкновенных способностях машин! Это плод досужей фантазии популяризаторов.

— Но как можно отрицать успехи кибернетики! Это верх несправедливости. Они поистине грандиозны. То ли ещё ждёт нас впереди!

— Заблуждение! Вот говорят: в каждом знании ровно столько науки, сколько в нём математики. Математика пронизывает всю кибернетику. И не только её. Математизация знаний стала поветрием, модой. Между тем современная математика, эта царица наук, переживает самый настоящий кризис. Её логические устои шатки, её аппарат несовершенен, она полна неразрешимых противоречий, из которых не может выпутаться вот уже третье тысячелетие. Да и возможности человеческого разума ограничены…

— Человеческого разума?! Ну, это уж слишком! Так могут рассуждать либо невежды, либо сумасшедшие!..

Где кончается здравый скептицизм и начинается голый нигилизм? Где вера во всесилие человеческого разума переходит в излишнюю самоуверенность, игнорирующую трудности?

Читатель, должно быть, помнит курьёзный эпизод из романа Сервантеса «Дон-Кихот». Не успел Санчо Панса освоиться со своим губернаторским положением, как ему учинили хитроумное испытание.

Некое поместье делится на две половины многоводною рекою. Через реку переброшен мост, а поблизости зловеще возвышается виселица. Закон гласит: «Всяк проходящий по мосту через сию реку долженствует объявить под присягою, куда и зачем он идёт; кто скажет правду, тех пропускать беспрепятственно, а кто солжёт, тех без всякого снисхождения казнить через повешение».

И надо же было так случиться, что однажды некий человек, приведённый к присяге, заявил: он-де клянётся, что пришёл сюда, дабы его… вздёрнули на эту вот самую виселицу и ни за чем другим. Стоило видеть недоумение судей! В самом деле, если позволить чудаку-незнакомцу следовать дальше, то это будет означать, что он нарушил присягу и согласно закону подлежит казни. С другой стороны, как его повесить? Ведь он клялся, будто только затем и пришёл, чтобы его повесили, — стало быть, присяга его не ложна, и на основании этого же самого закона надлежит пропустить его неприкосновенным.

Бедняга Санчо не мог похвастать мудростью библейского царя Соломона. Однако он безропотно взялся за нелёгкое дело и ничтоже сумняшеся рассудил так: «Ту половину человека, которая сказала правду, пусть пропустят, а ту, что соврала, пусть повесят». «Но, сеньор губернатор, — возразил ошеломлённый оппонент, — если разрезать человека на части, то он непременно умрёт, и тогда ни та, ни другая статья закона не будет исполнена. Между тем закон требует, чтобы его соблюли во всей полноте!» Сеньор губернатор, окончательно поставленный в тупик, по доброте душевной, посоветовал просто-напросто отпустить странного просителя на все четыре стороны.

Итак, закон был нарушен. Но что мог поделать добрый простак Санчо, который не умел даже расписаться под своим решением? Ну, а мы, читатели Сервантеса, находясь во всеоружии логики и математики, можем ли мы спустя 400 лет справиться с подобными головоломками?

Чтобы разобраться в этом вопросе, нам придётся заглянуть в удивительный мир парадоксов, побывать по ту сторону здравого смысла.

Парадоксы известны с незапамятных времён.

Знаменитому критскому философу Эпимениду, жившему в VI веке до нашей эры, приписывается довольно нелестный отзыв о своих соотечественниках: «Все критяне — лжецы». Только вот беда: сам Эпименид тоже критянин! Получается, что если Эпименид говорит правду, то он лжец, значит, он возводит напраслину на своих земляков и на себя самого, то есть говорит неправду. Как же всё-таки: ложно или истинно высказывание, порочащее обитателей острова — колыбели человеческой культуры?

Парадокс Эпименида, известный иначе как «парадокс лжеца», встречается ещё и в менее афористической, зато более сильной форме: «я лгу», или «высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Стоящее в кавычках выражение, очевидно, не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот вариант парадокса принадлежит Эвбулиду (IV век до н. э.).

В 1913 году английский математик Джордан добавил в копилку парадоксов такой. На одной стороне карточки начертано: Утверждение на обороте этой карточки истинно.

Что же это за утверждение? Перевернув карточку, вы читаете: Утверждение на обороте этой карточки ложно.

Вот и поди разберись, что к чему. Если верить первому сообщению, то второе правильно. Но ежели правильно второе, то неверно первое! И наоборот.

В античной «дилемме крокодила» ситуация столь же трагикомична и нелепа, что и у Сервантеса. Крокодил похищает ребёнка. Чудовище обещает родителям вернуть дитя, если отец угадает, отдаст ему крокодил ребёнка или нет. Что делать бедному чудовищу, если отец вдруг скажет, что крокодил не возвратит ему ребёнка?

Мы часто прибегаем в спорах к услугам аргумента «нет правил без исключений», забывая, что это выражение само есть правило и, выходит, тоже должно иметь исключения. Парадокс? Несомненно. И он возник потому, что санкции, декларируемые законом, мы применили к самому закону. Так что будьте осторожны с подобными аргументами: они чреваты логическими подвохами!

Любопытен изящный логический парадокс, сформулированный в 1908 году немецким математиком Куртом Греллингом. Чтобы войти в курс дела, разберём определение автологичного (самоприменимого) имени прилагательного. Большинство прилагательных не обладает качеством, которое оно обозначает. Скажем, слово «красный» само по себе не имеет красного цвета, слово «ароматный» не пахнет. Зато прилагательное «русский» — действительно русское, «трёхсложный» — трехсложно, «абстрактный» — абстрактно и т. д. Каждое из этих прилагательных, по терминологии Греллинга, автологично, то есть имеет силу применительно к самому себе, обладая тем же качеством, которым оно наделяет другие понятия. Иное дело — гетерологичные, то есть несамоприменимые прилагательные. Скажем, слово «трёхсложная» — само по себе вовсе не трехсложно, «бесконечный» имеет конечные размеры, «конкретный» — по смыслу абстрактно.

Парадокс Греллинга возникает из вопроса: к какому классу отнести прилагательное «несамоприменимый»? Самоприменимо оно или же нет? Допустим, что прилагательное «несамоприменимый» несамоприменимо. Тогда оно (согласно приведённому определению Греллиига) самоприменимо! А раз оно самоприменимо, то на каком же основании оно названо нами несамоприменимым?!

Вот ещё один логический сюрприз. Рассмотрим выражение: «Наименьшее натуральное число, которое нельзя определить посредством меньше чем тридцати шести слогов». Между тем только что написанное предложение при помощи тридцати пяти слогов (посчитайте и убедитесь сами!) определяет не что иное, как число, которое, по определению, нельзя определить меньше чем набором из тридцати шести слогов!

Подобными несуразицами изобилует история логики. Читатель может испробовать свои силы, пытаясь выбраться из перечисленных смысловых лабиринтов. (С тех пор как возникла эта проблема, не было найдено ни одного решения, с которым бы безоговорочно согласились учёные.)

Впрочем, правильно ли сказано: «смысловых лабиринтов»?

У каждого лабиринта, каким бы запутанным он ни был, есть выход. И если посетители знаменитого Критского лабиринта чересчур долго блуждали по хитросплетениям его ходов, неизменно попадая в лапы Минотавра, то виноваты в этом были они сами. Отмечай люди простейшими приёмами путь, то, даже не обладая развитой способностью ориентироваться, они получили бы не менее надёжное средство спасения, чем пресловутая нить Ариадны. Иными словами, в подобных случаях нас подводит лишь пренебрежение законами логики и геометрии. Другое дело парадоксы. Их формулировки настолько просты, настолько прозрачны, что и блуждать-то, собственно, негде: нет лабиринта как такового! Но сколь бы изощрённы ни были наши познания в области логики и математики, никакой, даже самый отточенный, меч разума не в силах разрубить этот логический гордиев узел.

И ещё одно уточнение. Под парадоксом обычно понимают нечто противоречащее нашей интуиции, нашему повседневному опыту, нашим непосредственным ощущениям. Парадоксальным в этом смысле казалось откровение астрономов-гелиоцентристов: не Солнце вращается вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца. Но как бы ни бунтовала наша интуиция, логика научного мышления неумолимо подводит нас к такому заключению. Между тем существуют парадоксы иного рода. Используя тот же логический аппарат, те же приёмы рассуждения — а ведь они шлифовались тысячелетиями и на них основаны все наши знания! — мы неизбежно приходим к неразрешимому противоречию. Значит, речь идёт о несовершенстве, об изъянах, глубоко коренящихся в самой логической системе нашего мышления.

Правда, у читателя может возникнуть вопрос: кому нужна вся эта казуистика? Да и нужна ли она вообще?

Приведённые смысловые нелепости не просто забавные трюки логики. Не раз парадоксы были связаны с перестройкой основ мышления.

Особенно поучительна эпопея знаменитых апорий (парадоксов) Зенона, которые двадцать пять, столетий назад оказались самой настоящей сенсацией. Впрочем, не просто сенсацией, которая ненадолго травмирует психику обывателя, а потом бесследно улетучивается из головы. Они оказали заметное влияние на прогресс математики. И до сих пор не сходят со страниц серьёзнейших математических, логических, философских работ, где учёные ломают копья и головы: преодолены или нет трудности, порождённые этими ужасными апориями?

…Кто из читавших гомеровскую «Илиаду» не помнит сцену погони грозного Ахилла за «шлемоблещущим», но порядком струхнувшим Гектором?

Сильный бежал впереди, но преследовал много сильнейший.„

Правда, гонка вокруг Трои всё-таки закончилась поражением Гектора. Но не в беге! В смертельной схватке. А перед поединком Ахиллу пришлось остановиться, так и не догнав врага. Что ж, супостат был ловок и быстроног. А если бы он был неуклюж и тихоходен?.

Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны, воспетый Гомером. И как неуклюжа, как тихоходна черепаха, повсюду слывущая эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллу снова придётся догонять черепаху. Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперёд. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся обогнать черепаху?

С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает, что он, отнюдь не будучи Ахиллом, способен запросто обогнать не только черепаху, но, чего доброго, и самого учителя — стоит только прозвучать звонку, возвещающему конец урока.

А нет ли «ахиллесовой пяты» у самих рассуждений Зенона?

В классическом курсе логики, написанном Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя даёт ей фору не только в расстоянии — 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу — всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти ещё на 10 саженей вперёд. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдёт ещё на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится — пусть на одну десятую сажени, но всё-таки вперёд, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +…

Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Её сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошёл алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 111¹/₉. Проделав, нехитрый подсчёт, Минто заключает: «Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет её между 111-й и 112-й саженями на их пути».

Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил посрамлённому софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча…

Пусть читатель сам рассудит античного мудреца и его оппонента.

Чтобы получить в ответе 111¹/₉ сажени, вовсе не обязательно прибегать к суммированию бесконечного ряда. Можно решить задачу обычным алгебраическим путём, приняв за неизвестное путь, который проползёт до момента «рандеву» пресмыкающаяся красавица, кокетливо убегающая от своего самоуверенного преследователя.

Уж коли у нас объявилось неизвестное, быть ему иксом — х. Тогда путь, промаршированный Ахиллом, окажется больше дистанции, разделявшей бегунов во время старта, на отрезок, покрытый черепахой до встречи с Ахиллом: 100 + х Теперь вникните: время движения от старта до встречи у обоих бегунов одно и то же. А скорость у Ахилла в десять раз выше. Значит, путь, проделанный Ахиллом, будет тоже в десять раз больше, чем черепаший (х). Составляем уравнение: (100 + х): х = 10. Подсчитайте: х = 11¹/₉. Столько саженей проползла черепаха. А Ахилл? 100+ х = 111¹/₉.

Трудно поверить, чтобы Зенон не сумел найти искомый отрезок пути подобными элементарными средствами. Ещё труднее представить, что Зенон никогда никого не перегонял или не видел, как это делают другие. Нет, не зря античный мыслитель формулирует задачу так, что в ней появляется понятие о бесконечном ряде! Его не мучает сомнение: может ли тело проделать путь, составленный из кусочков? Мыслитель смущён другим: как возможен последовательный синтез бесчисленного множества отрезков, если он будет длиться вечно, так и не достигнув предела?

Не достигнув? А точка, отстоящая от старта на 111¹/₉ сажени, — не есть ли это тот самый предел? Есть. Тот самый! Но разве вопрос сводился к тому, каков он? Нет! К тому, как переменная (в данном случае сумма ряда) достигает своего предела. И достигает ли вообще?

Мы назвали сумму переменной величиной. Так оно и есть. Вспомните ряд, составленный Минто: 100+10+1+0,1+0,01 + + 0,00,1. Покуда он содержит шесть членов. Их сумма равна 111,111. Это число меньше, чем 111¹/₉. Правда, чуть-чуть, но всё-таки меньше! Разница станет ещё меньше, если мы присовокупим к последовательности ещё один член, седьмой: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Сумма изменилась, теперь она равна 111,1111. Семь членов — семь знаков в числе — единичек, заметили? Если членов будет восемь, сумма опять удлинится на единичку: 111,11111. И так далее. Но возьмёте ли вы сто, тысячу, миллиард миллиардов членов, всё равно ваше число с колоссальным по длине хвостом из единиц будет меньше 111¹/₉. Сумма изменяется, растёт, но не достигает предела. И всё-таки мы умеем подсчитать предел, к которому она стремится.

Делается это так. Берётся формула для суммы конечного (подчёркиваем: не бесконечного!) количества членов. Она легко выводится — загляните в школьный учебник алгебры. Давайте подставим в неё характеристики нашей геометрической прогрессии. Первый член у нас 100. А знаменатель прогрессии — одна десятая (0,1) — ведь у нас каждый следующий член меньше предыдущего в десять раз. Предположим, мы хотим подсчитать сумму для 777 членов. Получим:

100/(1–0,1) [1 — (0.1)⁷⁷⁷⁺¹].

Нетрудно видеть, что число перед квадратными скобками равно 111¹/₉. А содержимое квадратных скобок? Чуть меньше единицы. И оно будет тем ближе к единице, чем больше показатель степени у дроби 0,1, заключённой в круглые скобки. Но приглядитесь к показателю степени — это же число членов ряда плюс единичка!

А теперь начинается самое интересное. Мы переходим от конечного числа членов к бесконечному. Показатель степени при (0,1) неограниченно возрастает. Что же происходит с самой степенью — с одной десятой, умноженной на себя столь многократно, что и вообразить невозможно? Она становится бесконечно малой величиной, стремящейся к нулю. А раз так, то, как написано в вашем учебнике, мы вправе её попросту отбросить, приравняв к нулю. В квадратных скобках остаётся единица. Стало быть, искомый предел равен 111¹/₉.

Но послушаем, что говорит по этому поводу математика (устами академика А. А. Маркова): «Важно заметить, что к совокупности значений бесконечно малой мы не причисляем её предела 0». А французский математик Мансион выражается ещё недвусмысленней: «Пределом переменной мы называем постоянную величину, к которой переменная неопределённо приближается, никогда её не достигая». Но то же самое говорил и Зенон, облекая разве что абстрактные математические символы в яркие образы, навеянные прекрасными античными мифами! Как бы далеко мы ни шли в последовательной интеграции укорачивающихся «движеньиц» Ахилла, мы никогда не получим целиком его пути до встречи с черепахой! Как сказано у Гомера («Илиада» в переводе Гнедича):

Сей убежать, а другой уловить
напрягается тщетно,
Так и герои, ни сей не догонит, ни
тот не уходит…

Подмеченные Зеноном трудности в строгом истолковании понятий «предел» и «непрерывность» можно проиллюстрировать и на более простом примере.

Представьте: у вас в комнате по полу ползёт черепаха. И вдруг — стоп! — животное упёрлось носом в стенку. Путь черепахи — переменная величина, растущая до какого-то предела. Предел — стена. Вернее, точка, ограничивающая траекторию черепахи. Но эта точка не принадлежит к бесконечному множеству точек траектории! Мало того: у черепашьего пути вообще невозможно определить последнюю точку — ту, где обретается черепаший нос в момент удара, ту, что предшествует предельной — точке стены. Здесь мы ненароком коснулись другой апории Зенона. Если первая в истории математики фигурирует под названием «Ахилл», то второй присвоено имя «Дихотомия». Это древнегреческое слово переводится так: «бесконечное деление пополам».

Прежде чем завершить весь путь, черепаха должна пройти его половину, говорил Зенон. Но прежде чем она достигнет середины пути, ей предстоит добраться до метки, рассекающей надвое эту половину. Однако прежде чем оставить за собой четверть пути, нужно пройти его «осьмушку»… Уф! Так можно продолжать до бесконечности. Короче, Зенон делал вывод: движение никогда не начнётся!

Геометрически парадокс можно истолковать так. Мы берём отрезок и делим его напополам. Левую половину опять рассекаем надвое. Левую четвертушку — тоже надвое. Затем левую осьмушку, шестнадцатую долю, одну тридцать вторую и так далее — без конца. Не напоминает ли это погоню Ахилла за черепахой или путешествие черепахи по комнатному тупику? Только сейчас роль стены выполняет черепаший нос. Его кончик — точка покоя. А где начинается первая по счёту точка движения? Ведь мы не в силах найти точку, непосредственно следующую за границей отрезка, — точно так же, как и могли определить точку, непосредственно предшествовавшую предельной в примере с черепахой, натолкнувшейся на препятствие!

Ошибка Зенона, по словам профессора С. А. Богомолова, заключается в том, что из невозможности вообразить начало движения древний философ заключил о невозможности самого движения и достоверного знания о нём. Она вполне объясняется уровнем математических знаний его эпохи и не уменьшает его заслуг. В «Дихотомии» Зенон указал на трудности постигнуть понятия «континуум» (непрерывная последовательность всех точек линии) и «движение». Но математики давно уже привыкли к тому, что рассудок справляется с вопросами, перед которыми бессильна интуиция. И тем не менее мы должны всё-таки признать, что в «Дихотомии» есть некоторый неразрешимый остаток. Речь идёт о бесконечном ряде, не имеющем начала. Это всё та же диалектика бесконечности, которая обретает особую остроту применительно к последовательности моментов времени.

Следующий наш перевал — «Стрела», третья апория. Третья по счёту, но не по важности. Нас ждёт парадокс, который слывёт, по выражению профессора А. А. Богомолова, «апофеозом зеноновской диалектики».

Движенья нет, сказал мудрец брадатый…

Это Пушкин цитирует Зенона. И продолжает:

…Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей!

Пушкина цитирует писатель Даниил Данин в своей книге «Неизбежность странного мира». И продолжает: «Зенон вопрошал:

— Вот летит стрела, в каждый момент её можно где-то застигнуть, там она в это мгновенье покоится, откуда же берётся движение? Значит, движение — череда состояний покоя? Не абсурд ли это?

Рассуждение было безупречно. Но и доказательство Диогена, который начал ходить, тоже было неопровержимо. Мог ли отыскаться выход из этого очевидного противоречия — движение слагается из моментов покоя? Выход должен был отыскаться и отыскался.

Для этого математика и механика должны были научиться оперировать с бесконечно малыми величинами. Они должны были научиться рассматривать состояние покоя как нулевой предел исчезающе малого перемещения. Это делает дифференциальное исчисление. И должны были научиться складывать такие нули, не удивляясь, что бесконечное прибавление бесконечно малых движеньиц может дать вполне реальный конечный отрезок пути. Это делает исчисление интегральное. В рассуждении Зенона была заметная логическая погрешность. Он разлагал перемещение стрелы на бесконечное множество состояний покоя, а складывал их по арифметической логике конечных сумм: если взять столько-то нулей, всё равно получится нуль. И потому сказал: «Движения нет». А всё дело в том, что как ни велико арифметическое «сколько-то», оно ещё не бесконечность. Диоген только молча и мог опровергнуть Зенона — словами у него ничего бы не вышло, потому что не было тогда нужных для этого слов».

Что ж, это, пожалуй, верно, что у Диогена не нашлось бы нужных слов, дабы возразить — правда, не самому Зенону, а одному из его последователей (Зенон умер за сто с лишним лет до появления Диогена на свет). Ну, а сегодня? Что это за магические слова, каковыми-де можно парировать выпады Зенона? Очевидно, дифференциальное и интегральное исчисления, не так ли? Что ж, давайте попробуем урезонить античного смутьяна самыми, могущественными аргументами математического анализа.

Лук звенит, стрела трепещет,
И, клубясь, издох Пифон…
И твой лик победой блещет,
Бельведерский Аполлон!

Сценка убийства, нарисованная Пушкиным, графически изображается баллистической кривой, а в идеале (если не учитывать сопротивления воздуха) — параболой, по которой перемещается стрела от тетивы до мишени. Координаты такие: высота подъёма (вертикальная ось) и время полёта (ось горизонтальная). Сейчас мы займёмся дифференцированием.

Как подсчитать скорость? Ясное дело как: списал километраж со спидометра и поделил на время, за которое машина проделала путь. Верно. Только так мы найдём среднюю скорость. А она наверняка менялась! Сперва автомобиль стоял — скорость была равна нулю. Потом тронулся — скорость стала нарастать, превысила дозволенный рубеж; тут раздался свисток милиционера, пришлось дать тормоз — скорость резко пошла на убыль, пока машина снова не стала как вкопанная. Если же посчитать среднюю скорость, то выяснится, что вас и штрафовать-то не за что! Однако постового не проведёшь. Он, может, и не знает дифференциального исчисления, но уж в нарушениях кое-что смыслит. Как же всё-таки нам определить точное значение скорости в любой момент времени?

Давайте вернёмся к стреле: её скорость описывается более простым математическим выражением. Только тут всё наоборот: в момент старта с тетивы скорость стрелы (речь идёт о скорости её подъёма) максимальна. В наивысшей точке трассы она равна нулю. В момент убийства Пифона снова достигает наибольшего значения. В любой момент она иная, чем раньше. Тем не менее мы можем уловить закономерность, с какой она изменяется от точки к точке.

Представьте, что полёт стрелы, пущенной лучезарным богом в отвратительное чудище, отснят на киноплёнку. И мы остановили демонстрацию фильма где-то посредине, выхватив любой кадр. К этому моменту стрела (лучше говорить об одной из её точек, скажем, центре тяжести) поднялась на определённую высоту. Включим лентопротяжный механизм снова, но ровно настолько, чтобы перед нашими глазами застыл следующий кадр. Центр тяжести, продлив свою трассу на крохотный кусочек, окажется в новой точке, где высота подъёма увеличилась. Обозначим это приращение высоты так: ΔS («дельта эс»). А заодно символом Δt («дельта тэ») обозначим временной интервал между соседними кадрами. Тогда средняя скорость подъёма на этом участочке пути выразится нехитрой дробью. Обратили внимание — скорость-то у нас опять средняя! Да, но чем меньше «дельта тэ», тем ближе значение нашей дроби к истинной скорости в первой точке. Если бы затвор киноаппарата при съёмке щёлкал бы в тысячу раз чаще, то промежуток времени между двумя соседними кадрами сократился бы тоже ровно в тысячу раз. Значение «моментальной» скорости стало бы точнее. И всё же до тех пор, покуда наша долька временной оси будет конечной (не бесконечно малой) величиной, отношение «дельта эс» к «дельта тэ» даёт лишь среднюю скорость между двумя моментами. А что, если сделать «дельта тэ» бесконечно малым? Иными словами, представив вторую точку трассы подвижной, теснить и теснить её к жёстко сидящей первой точке? Тогда «дельта тэ» устремится к нулю. «Дельта эс» тоже. А их отношение? Оно станет всё точнее и точнее передавать значение скорости стрелы в момент времени, запечатлённый на первом кадре. Но лишь в пределе она окажется мгновенной скоростью в тот самый момент. Этот предел отношения ΔS/Δt при Δt, стремящемся к нулю, изображается двухэтажным знаком dS/dt («дэ эс по дэ тэ») и называется производной функцией (в нашем случае производной от пути по времени). dS и dt называются дифференциалами (от латинского слова «разница»).

Приведённое построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что её значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений — тангенс этого угла. Ведь что такое наши «дельта эс» и «дельта тэ», как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.

Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию — в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию — интегрирование. Приёмы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы… нули! Но ведь отношение нулей — абсурд!

Чтобы разобраться в парадоксе, придётся снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить «стрелу», пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище — анализ бесконечно малых — злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?

…24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из её устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.

Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни…

Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нём чёрным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии…

Но при чём тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!

Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причём обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным.

В дозеноновском естествознании все тела считались беспредельно делимыми. Это с одной стороны. А с другой — допускалось, что каждый предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых «телец». На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.

Если тело делимо беспредельно, говорил он, го оно должно быть бесконечно большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться протяжённые частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же деление бесконечно, постольку и геометрических «атомов» будет бесчисленное множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяжённых и далее, неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого количества таких «нулей» никогда не даст протяжённого тела!

Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Учёные всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.

Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент геометрии. Приклеив единомышленникам Зенона ярлык «афизиков» («лжеучёных»), она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и пространства был провозглашён сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую критику появилась позитивная платформа, на которой можно было — худо, ли, бедно ли — дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень шаткими…

Более полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.

Лишь в эпоху позднего Возрождения учёные возвысили свой голос против схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и его ученика Аристотеля к авторитету евангелия…

Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения.

В своих «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки», Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею «неделимого». А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, — чистейшей воды геометрический атомизм!

«Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, — говорит профессор С. Я. Лурье в книге «Теория бесконечно малых у древних атомистов». — Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Казальери, а с Демокрита».

Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это — нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю?

Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение dS/dt, введённое Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин — дифференциалов dS и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел ΔS/Δt = dS/dt при Δt стремящемся к нулю, — невольно напрашивается вывод, будто «дельта тэ» стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а «дельта эс» к dS и к нулю! А всё потому, что перед нами «ископаемые останки» атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших «атомов», как пределом для приращения «дельта эс» или «дельта тэ» будет уже не нуль, то есть ничто, а высота или, ширина этой неделимой геометрической крупицы: dS или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддаётся уразумению и равенство: предел ΔS/Δt = dS/dt Ибо при атомистическом подходе предел ΔS равен dS, а предел Δt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесён ещё Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла математика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?

Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика». Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И всё же сам термин «дифференциал» прокрался обратно через чёрный ход. Он как ни в чём не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку: dS/dt. Правда, сегодня в математики видят не бесконечно малую величину, а конечное приращение «дельта тэ». Что же касается dS/dt, то эта «дробь» в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу. Действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего «нуля» в знаменателе. Для этого числитель дроби ΔS/Δt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формуле разности появляется сомножитель «дельта тэ». Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на «дельта тэ». Ведь это не возбраняется до тех пор, пока «дельта тэ» не равно нулю. Так «дельта тэ» исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остаётся ещё одно «дельта тэ». Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе «дельта тэ» обращается в нуль. Так — сложно ли, просто ли — но для каждой функции удаётся ловким манёвром миновать нелепость:

ΔS/Δt = 0/0.

Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, чёрт побери, являются эти понятия сами по себе?

Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом. То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой.: мол, такое понятие, как площадь, имеет некий абсолютный «смысл в себе», и вроде бы нет надобности привлекать вспомогательные операции с пределами.

Иначе рассуждают современные математики.

«Ни Ньютон, ни Лейбниц, — говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, — не смогли занять ту отчётливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о «бесконечно малых величинах», о «дифференциалах» и т. д.

Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьём, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьём или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма «бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых». Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление её значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток… Теперь мы попросту отбрасываем желание «непосредственно» объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путём все трудности и устраняются, и всё, что ценно в анализе, приобретает твёрдую основу»..

Твёрдую основу? Но прежде чем ответить, давайте подведём итог: ни Ньютон, ни Лейбниц не парировали выпадов Зенона. Они просто отмахнулись от них. Не поступи они именно так, быть может, ещё больше отсрочилось бы открытие дифференциального и интегрального исчисления, этого мощнейшего инструмента расчётов в современной науке и технике. Так или иначе, сколь бы ни были велики заслуги творцов математического анализа, противоречия, подмеченные Зеноном, остались неразрешёнными. Ньютон и Лейбниц считали точки наименьшими из существующих, но всё же протяжёнными «тельцами». Разлагая кривую на бесконечно большое количество бесконечно малых частей, они приходили к пределу, который считали отношением высоты к ширине геометрического «атома» — точки.

Сегодня атомистические представления отвергнуты математикой. И хотя приведённое геометрическое истолкование широко практикуется в преподавании, уже почти никто не объясняет ΔS/Δt по Лейбницу — как отношение бесконечно умаляющихся «дельта эс» и «дельта тэ». Ибо можно обойтись вообще без геометрических построений. Можно просто исключить «дельта тэ» из знаменателя путём чисто формальной процедуры.

«Чисто формальной» — значит не прибегающей к интуитивным представлениям. В нашем случае к зримым моделям — чертежам.

Надо сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию, на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и прочими образами «живописного искусства» геометрии. (Куда завело Лейбница чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем). Но в том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии формулировать свои выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем, многие утверждают, что без интуитивных представлений математике всё равно не обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы можем, а вот зримо вообразить себе — увы… Так ведь это-то противоречие и подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, — дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой самоуверенной демонстрации здравого смысла — скорей всего она будет прямолинейной. Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и «обсчитать» её по всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяжённый отрезок — трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?

Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьёз полагал, будто молчаливая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских «нигилистов»? Она ещё в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его физической видимости. Впрочем, только ли в древности?

«Движение есть сущность времени и пространства, — говорил Ленин. — Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и «пунктуальность» (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий».

«Ещё со времён Зенона и его парадоксов, — продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, — все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении, шаг за шагом по дискретной последовательности значений а₁ а₂, а₃… Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как х «приближается» к заданному значению xi, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах, Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие».

Парадоксально, но факт налицо: понятие «дифференциал» и тесно связанное с ним понятие «интеграл», взращённые на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Как же быть?

Вот прогноз профессора Лурье: «Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчётливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал ещё Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия «дифференциал» и «интеграл» к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических представлений».

Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь, мысль этого интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой «почтенной реликвии атомистической эпохи», предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли уж оно отчётливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?

«В последнее время, — утверждает профессор С, А. Богомолов в книге «Актуальная бесконечность», — уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова «Ахилл не догонит черепаху» на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела».

И далее: «Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание учёных и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть… Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно, здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники…

Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.

Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого учёного Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддаётся объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца…»

Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чём же оно, это различие?

Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.

Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Всё плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. «Татуирование» бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг — поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были.

Однако предположим, что всё бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется «в наличии», так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить «иглоукалывание», но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причём для любой точки этого нового множества найдётся место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств!

Пусть теперь нам удалось «вытатуировать» на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, «всюду плотным». Иначе говоря, на нашем отрезке не найдётся такого места, где бы, мы не встретили какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не покрывают всего отрезка целиком! Не верите?

Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмём сторону квадрата и уложим её на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придётся аккурат на «вакантное» место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно «перенести» со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырёх четвертушек и так далее — всё это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путём множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдётся своё место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно — и вдруг содержит «пустоты», уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки — рациональную и иррациональную — или установить порядок их чередования. Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество (континуум) мы можем, но представить в зримых образах… Математики уверяют, что это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум! Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена — словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия — всё это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума — его несчётность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору.

На первый взгляд, тут и открывать-то нечего; раз множество бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтёшь, Ан нет, оказывается, есть и счётные множества, даром что бесконечные.

Понятно, определение «счётный» здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу — эта процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое «пересчитать»? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6… Именно так поступает педантичный гардеробщик, выдавая по порядку номерки взамен верхней одежды, снимаемой посетителями. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между номерами жетонов и шляпами (или плащами, галошами, портфелями и так далее).

Правда, последовательный пересчёт не всегда удобен — даже в случае конечных множеств, «Пойдём, например, на танцплощадку, — иллюстрирует эту мысль доктор физико-математических наук Н. Я. Виленкин в своей брошюре «Рассказы о множествах». — Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчётом как тех, так и других. Но нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец. Тогда юноши пригласят девушек, и наша задача будет решена. Ведь если вся молодёжь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек».

Кантор решил таким же способом сравнить и бесконечные множества.

Для этого вовсе не обязательно пересчитывать их по элементам. Достаточно установить взаимно однозначное соответствие между элементами обеих множеств. Так вот, все бесконечные множества, элементам которых можно сопоставить числа натурального ряда, называются счётными. Например, множество всех рациональных чисел (целых и дробных).

Теперь естественно ожидать, будто все без исключения бесконечные множества счётны. Нет! Кантор с удивлением открыл и убедительно доказал, что множество всех действительных чисел или точек (рациональных и иррациональных, вместе взятых) неисчислимо. Оно несравненно богаче элементами (обладает большей мощностью), нежели множество одних рациональных точек.

Доказать, что множество счётно, значит придумать правило, по которому нумеруются его элементы. Убедиться же в несчётности того или иного множества — это значит доказать, что такого правила нет и не может быть вообще.

Кантор рассуждал так. Допустим, нам удалось найти способ, как перенумеровать все действительные числа, выписав их в виде последовательности. Если теперь найдётся хотя бы одно число, не входящее в эту последовательность, значит гипотеза о возможности перенумеровать все действительные числа несостоятельна. И Кантор продемонстрировал такое число! Да не одно, а бесчисленное их множество. И какое бы правило нумерации мы ни придумали, всегда найдётся незанумерованный элемент этого множества. Вот какой смысл вкладывается в слова «множество всех точек континуума неисчислимо».

Вот и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно новое качество, отсутствовавшее у его частей — непротяженных, не имеющих размеров точек, когда мощность множества переходит определённый количественный Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придётся рисовать сплошную линию — иначе не изобразишь множество всех рациональных точек. Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает непрерывностью, сплошностью. Этого, разумеется, не дано было знать Зенону, для которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели «на одно лицо».

И всё же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.

У английского писателя Лоуренса Стерна есть роман «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена». Это весьма своеобычный роман. Повествование ведётся от первого лица, причём герою понадобилось целых двести пятьдесят страниц, чтобы описать своё появление на свет. Лишь в третьей книге мать Шенди разрешается от бремени Тристрамом, джентльменом, а в шестой маленький джентльмен впервые удостаивается чести быть облачённым в штаны.

О странном литературном персонаже вспоминает не кто иной, как Бертран Рассел. Предположим, говорит английский учёный, какой-нибудь новоявленный Тристрам Шенди будет затрачивать по году на описание каждого дня своей жизни. Сумеет ли он накропать мемуары?

Не сумеет, это ясно: человек смертен. А если бы Тристрам Шенди стал вдруг бессмертным? Что тогда? Тогда каждый день найдёт своё отражение в его необычной летописи. Другое дело — странное жизнеописание никогда не закончится. Но каждому дню найдётся соответствующий год, причём количество дней и количество годов в их нескончаемой череде равны, вернее, равномощны. Это бесконечности одного класса. Точно так же последовательность всех чётных чисел равномощна натуральному ряду, включающему и чётные и нечётные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. А натуральный ряд равномощен множеству всех рациональных чисел.

Как видно, правило «целое не равно своей части» утрачивает силу в странном мире бесконечного. А вот и другой вывод, ещё пуще насмехающийся над немощью человеческой интуиции.

Мы уже выяснили: континуум (совокупность всех без исключения точек отрезка) обладает гораздо большей мощностью, нежели редко стоящие на числовой оси метки натурального ряда или даже множество всех рациональных точек, плотное везде. Тем не менее совершенно неожиданным и поистине ошеломляющим выглядит такой Канторов итог: один ли ангстрем, один ли световой год содержат одинаковое «количество» (речь идёт о бесконечном множестве) точек. Уму непостижимо, но бесконечная прямая вмещает не больше точек, чем конечный отрезок! И ещё один сюрприз: трёхмерная фигура (скажем, куб) не богаче точками, чем двумерная (квадрат), а двумерная поверхность — чем просто линия. Целых три года (с 1871 по 1874) Кантор пытался доказать, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно. Мучительные поиски долго оставались безуспешными. И вдруг совершенно неожиданно для себя учёный пришёл к совершенно противоположному результату! Он проделал то самое построение, которое считал неосуществимым. Потрясённый своим открытием, он написал математику Дедекинду: «Я вижу это, но не верю этому». А вскоре убедился, что не только квадрат, но и куб равномощен линии…

Этого не знал Зенон. Ньютон тоже. Но это со всей непреложностью доказал Георг Кантор — человек, впервые отважившийся объять необъятное, сосчитать неисчислимое, измерить неизмеримое. Он проник с числом и мерой в таинственный и странный мир, над входом в который красуется кабалистический символ бесконечности — oo, и который исстари вселял в души человеческие мистический хоррор инфинити — ужас перед бесконечным.

Беспрецедентное арифметическое беззаконие потрясло математиков. Но это было ещё только началом. Теория множеств Кантора оказалась чреватой куда более серьёзными парадоксами.

На рубеже XIX и XX столетий выяснилось, что логические рассуждения, которыми оперировал Кантор, ведут к неразрешимым противоречиям. Первый нокаут канторовские построения получили от итальянского учёного Бурали-Форти, сформулировавшего парадокс наибольшего порядкового числа. Однако настоящей сенсацией оказалась знаменитая антиномия Рассела, опубликованная в 1903 году и получившая широкую известность под названием «парадокса брадобрея».

Солдату приказали стать полковым цирюльником. Приказ строжайше предписывал брить тех и только тех, кто не бреется сам. За невыполнение — смертная казнь. Солдат исправно нёс нехитрую службу парикмахера ровно один день. На следующее утро, проведя ладонью по подбородку, он взялся за лезвие и кисточку, чтобы придать своим щекам былой глянец, но… вовремя спохватился. Начни он скоблить собственную щетину, быть ему в числе тех, кто бреется сам. И тогда он в соответствии с грозным распоряжением начальства не должен себя брить. Если же он откажется себя брить, то станет одним из тех, кто сам не бреется и кого как раз он-то и обязан брить! Как же поступить бедняге брадобрею?!

Разумеется, перед нами шутливое иносказание настоящего парадокса. На самом деле формулировка его более строга.

Существуют множества, которые могут содержать сами себя в качестве элемента. Назовём их необыкновенными. Вчитайтесь, к примеру, в такое определение: «Множество А включает в себя все множества, которые можно определить предложением, содержащим меньше двадцати слов». Только что приведённая фраза содержит всего 15 слов. Значит, само множество А тоже является элементом множества А! Разумеется, перед нами курьёзное исключение. Большинство совокупностей обыкновении — не содержат себя в качестве элемента. Давайте пока ограничимся только такими пай-множествами, которые вроде бы не сулят никакого подвоха. И рассмотрим множество всех обыкновенных множеств. Обозначим его буквой М. Предлагается ответить: само М — обыкновенное или необыкновенное? Бесспорно, оно должно быть либо тем, либо другим — третьего не дано. Допустим, что М — обыкновенное множество. Тогда оно должно содержать себя в качестве, элемента: ведь М, по определению, множество всех до единого обыкновенных множеств. — Но если оно включает самое себя, значит, перед нами необыкновенное множество! Ладно, пусть будет таковым. Стоп… Что же получилось: необыкновенное М входит в множество всех обыкновенных множеств? Но ведь мы же договорились вообще не иметь дела с необыкновенными множествами! М, по определению, не имеет права входить в множество всех и одних только обыкновенных множеств! А уж если оно угодило туда, пусть изволит стать обыкновенным. Остаётся одно: объявить множество М обыкновенным и… начать сызнова «сказку про белого бычка». Как видно, в отличие от своего севильского коллеги из бессмертной трилогии Бомарше Фигаро лорда Рассела занялся интригами на более высоком уровне — в области логики и математики.

Парадоксы теории множеств заставили математику ревизовать свои логические устои.

Как известно, ахиллесовой пятой канторовской теории множеств был её неконструктивный характер. Кантору ставили в упрёк, что он прибегал к доказательству от противного. Он обосновывал истинность фундаментальнейших выводов своей теории не прямо, а косвенно — демонстрируя абсурдность противоположного утверждения. До поры до времени это казалось убедительным. В самом деле, если одно из двух взаимоисключающих предложений ложно, то другое обязательно должно быть истинным. По крайней мере так гласил закон исключённого третьего. Приём редукцио ад абсурдум (приведение к нелепости) широко практиковался в математике со времён Евклида. Но ведь у Рассела в его парадоксе с брадобреем та же логическая процедура, проверенная тысячелетиями, дала осечку! Так почему же, спрашивается, она не могла подвести и Кантора? Неужто и впрямь… «движенья нет»? Во всяком случае, в логике опровергателей Зенона, апеллировавших к построениям Кантора…

Но, быть может, противоречия были порождены чересчур вольной трактовкой понятия «множество»? А если более строго сформулировать требования к смыслу каждого термина, к каждой логической процедуре? И даже попытаться, если удастся, построить «конструктивную» логику, где не будет закона исключённого третьего и доказательств от противного?

Теорема Гёделя легла в основу целого направления в математике и логике. Сама математическая теория, непротиворечивость которой пытаются обосновать, стала предметом изучения особой «надматематической» науки, названной метаматематикой, или теорией доказательств. Какова природа истины? На каких посылках зиждется сам фундамент математики? Какой смысл имеют математические предложения: аксиомы, леммы, теоремы? Какую логическую структуру должны иметь доказательства? Так попытки разрешить парадоксы столкнулись с более широкой проблемой обоснования математики и логики.

Загляните в книгу С. К. Клини «Введение в метаматематику». Поначалу она наверняка отпугнёт вас умопомрачительной абракадаброй символов, а потом… Потом, глядишь, и притянет — скорей всего удивительным лаконизмом, элегантной строгостью, а если разобраться, то и простотой своеобычного языка знаков. Языка, которым описываются самые замысловатые умозаключения. В том числе и комичные логические нелепицы наподобие той, что возникла в эпизоде с «сеньором губернатором» Санчо Пансой. Странное, парадоксальное сочетание, не правда ли? Полнокровная проза Сервантеса и анемичные иероглифы математической «стенографии» — ведь это на первый взгляд две вещи столь же несовместные, как гений и злодейство! Ну как втиснуть живую человеческую речь, да не просто речь, а рассуждения, в прокрустово ложе математических формул?

«Когда я, будучи мальчиком, знакомился с предложениями обычной логики и мне ещё была незнакома математика, у меня возникла, не знаю, по какому наитию, мысль о том, что можно изобрести такой анализ понятий, с помощью которого истины можно будет комбинировать и высчитывать как числа».

Так на закате жизни делился своими неосуществлёнными мечтами блестящий дипломат и гениальный математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он, как никто другой, остро чувствовал изъяны классической логики. Сведённая в систему ещё Аристотелем, она с тех пор на протяжении двадцати веков оставалась неизменной. Но значило ли это, что её нельзя усовершенствовать?

Великий немецкий реформатор считал, что наши знания можно разложить на простые элементы. Обозначенные особыми символами, они составят алфавит человеческих мыслей. Спрашивается, зачем?

— Споры не придут к концу, ежели не отказаться от словесных рассуждений в пользу простого исчисления, — объяснял Лейбниц, — ежели не заменить слова неясного и неопределённого смысла однозначными символами. После введения оных двум философам, буде возникнет между ними препирательство, уже не надобно стараться перекричать друг друга. Спорщикам не потребуется ничего иного, кроме как взять в руки перья, сесть, подобно бухгалтерам, за свои конторки и сказать: давайте-ка вычислять!

Лишь через полтораста лет началось осуществление идей Лейбница. В 1847 году ирландский учёный Джордж Буль печатает «Математический анализ логики», где впервые излагает исчисление высказываний — так называемую алгебру логики. «Тот, кто знаком с современной алгеброй, — замечает автор, — знает, что правильность аналитической процедуры не зависит от истолкования символов. Поэтому один и тот же приём может дать при одном истолковании решение проблемы теории чисел, при другом — решение проблемы геометрии, при третьем — решение проблемы динамики или оптики и так далее». В булевой алгебре буквами обозначаются высказывания, причём самые громоздкие и запутанные логические построения сводятся к простым арифметическим действиям.

Вторжение формул и уравнений имело для логики столь же решающее значение, как и появление буквенных обозначений для математики. Архимед, Евклид, Диофант и другие титаны античной математики не пользовались языком формул. Нет, не потому, что не хотели. Они его не знали. И излагали свои мысли в словах и рисунках. Геометр перед геометром изображал палочкой на песке квадрат. Потом проводил внутри него крест-накрест две черты, отсекавшие от квадрата по равной продолговатой краюхе справа и снизу. Пересекаясь, линии образовали в правом нижнем углу маленький квадратик. И любой, кто смотрел на рисунок, — грек ли, римлянин или араб, — даже не зная языка, понимал без слов: квадрат суммы двух величин равен сумме квадратов этих величин, сложенной с удвоенным произведением первой величины на вторую. Труднее было объяснить, чему равен куб суммы. Приходилось чертить куб, вычленять из него меньший куб и затем суммировать объёмные дольки. Зато четвёртую степень суммы наглядно объяснить не удавалось, не говоря уже о пятой, шестой и так далее. Геометрия пасовала. Между тем с помощью буквенных обозначений по формуле бинома Ньютона можно без труда подсчитать сумму двух членов, возведённую в любую степень:

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + Зa²b + Зab² + b³;

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

И так далее. Комментарии излишни: преимущества говорят сами за себя.

А теперь вчитаемся в необычную надгробную надпись:

Путник! Здесь прах погребён Диофанта. И числа поведать
Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Шестую
Часть его составляло прекрасное детство,
Двунадесятая часть протекла ещё жизни — покрылся
Пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном
Браке провёл Диофант. Пятилетие минуло; он
Был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына,
Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой
Старец земного удела конец восприял, переживши
Года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи-ка,
Скольких лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

Ну-ка решите задачу в уме, рассуждая — и только, не прибегая к услугам пера и бумаги. Что, трудновато? Ладно, давайте лучше втиснем певучий гекзаметр в строгую метрику формул.

x/6 + x/12 + x/7 + 5 x/2 + 4 = х.

Это уравнение с одним неизвестным решается в два счёта. Ответ: «прекрасное детство» будущего великого математика закончилось в четырнадцать лет. В двадцать один год Диофант сыграл свадьбу, в тридцать восемь у него родился сын, умерший сорока двух лет, когда самому Диофанту стукнуло восемьдесят. Наконец, на восемьдесят четвёртом году великий грек ушёл из жизни. Его не стало (хотя это уже не вытекает из нашего уравнения) в III веке новой эры. Евклид и Аристотель жили и творили в III веке до новой эры. И несмотря на то, что биографии великих мыслителей разделяет более полутысячелетия, во времена Диофанта ещё не родилась алгебра — та самая, которая позволяет нам столь лихо расправляться с трудными арифметическими задачами.

Как ускорился прогресс, насколько богаче стали возможности математики, когда встала на ноги и окончательно утвердилась алгебра, сразу же обретшая права гражданства! А случилось это в эпоху Возрождения — через тысячи лет после появления геометрии и арифметики.

Что касается логики, тоже весьма почтенной старушки («Органон») Аристотеля создан примерно в одно время с «Началами» Евклида), то здесь алгебра не сразу получила признание. Символика и операции математической логики пришлись то ли не по вкусу, то ли не по зубам логикам середины XIX века. А кто осилил булеву алгебру, десятилетиями считали её занятным, однако никчёмным изобретением досужего ума. Положение изменилось лишь к концу XIX века, когда перед наукой во весь рост поднялась серьёзная задача — обосновать самые кардинальные идеи и понятия математики. Аристотелева логика, при всём её совершенстве, вынуждена была сложить оружие перед неодолимыми трудностями. Тут-то и пришлось идти на поклон к логике символической. И понятно почему.

В своё время, разбирая кипу откликов на статью «По следам логических катастроф», напечатанную в журнале «Техника — молодёжи», автор обнаружил массу опровержений всех знаменитых парадоксов. В том числе парадокса Сервантеса. Искренне сочувствуя бедняге Санчо, изо всех сил стараясь ему подсобить, читатели пускались на всевозможные казуистические ухищрения. Одни выискивали смысловые лазейки в формулировке закона. Другие в заявлении чудаковатого пришельца. Третьи — в процедуре исполнения приговора. Что ж, кое-кому это удавалось. Удавалось постольку, поскольку в статье фигурировала популярная версия парадокса со всеми атрибутами реальной житейской ситуации. Зато сформулированное в терминах математической логики с их однозначной трактовкой, не допускающей никаких двусмысленностей, противоречие предстало бы перед нами во всей его роковой, неумолимой, неизбежной, неуничтожимой сущности.

Разумеется, симпатии учёных притягивала и притягивает не только эта строгость и однозначность определений, скрывающаяся за символами математической логики. Сведя построение силлогизмов к буквенным преобразованиям, булева алгебра освободила человека от необходимости держать в голове содержание посылок и промежуточных умозаключений. Вся забота свелась к наблюдению за правильностью алгебраических выкладок, напоминающих решение системы уравнений, А такую, премудрость способен постигнуть даже школьник.

Да, далеко шагнули вперёд математика и логика со времён Зенона и Аристотеля. Появилась и успешно развивается теория доказательств — метаматематика. И тем не менее, несмотря ни на что, парадоксы с невозмутимостью Сфинкса, сквозь загадочно-насмешливую маску каменного колосса- продолжают взирать на все ухищрения логистов, как они тысячелетия назад смотрели на наивные потуги опровергателей. Есть ли выход из тупика? Если да, то где он? Неужели есть вещи, недоступные человеческому разуму?

Бессильная в своём могуществе, математическая логика в недоумении разводит руками.

«Ну и что? — пожмёт плечами читатель. — Разве из-за этих сугубо теоретических, лучше даже сказать, надматематических изъянов хуже действуют столь мощные практические инструменты, как, например, дифференциальное и интегральное исчисление? Или вы забыли, какие чудеса творит кибернетика? То ли будет впереди! А вы всё толкуете о каких-то там парадоксах…»

Спору нет, успехи современной математики грандиозны. Кибернетики — тоже. Электронные машины вторглись в заповедные области человеческого интеллекта… Нынче они навострились не только доказывать известные теоремы, но даже… формулировать новые!

Работая по программе, составленной американским учёным Ваном Хао, универсальная цифровая машина ИБМ-704 за восемь минут тридцать секунд доказала все триста пятьдесят теорем, что составляют целых девять глав в монографии Рассела и Уайтхеда «Основания математики»!

Этим дело не ограничилось. Ван Хао так запрограммировал машину, чтобы она не просто доказывала или опровергала математические предложения, заданные человеком, а сама занялась научным творчеством. И машина охотно принялась печатать одну за другой новые теоремы…

Так, может, эра машинного мышления знаменует собой начало полного раскрепощения математики от логических несуразностей?

Послушаем специалистов.

«Имеется ряд результатов математической логики, — говорит А. Тьюринг, автор книги «Может ли машина мыслить?», — которые можно использовать для того, чтобы показать наличие определённых ограничений возможностей машин..! Наиболее известный из этих результатов — теорема Гёделя… Существуют определённые вещи, которые эта машина не может выполнить. Если она устроена так, чтобы давать ответы на вопросы, то будут вопросы, на которые она или даст неверный ответ, или не сможет дать ответа вообще, сколько бы ни было ей предоставлено для этого времени».

А вот какого мнения придерживается «отец кибернетики» Норберт Винер: «Всякая логика ограничена вследствие ограничений человеческого разума, которые обнаруживаются при том виде его деятельности, который мы называем логическим мышлением. Например, в математике мы посвящаем много времени рассуждениям, включающим понятие бесконечности, но эти рассуждения и сопровождающие их доказательства в действительности не бесконечны. Всякое, допустимое доказательство содержит лишь конечное число шагов…

Доказательство есть логический процесс, который должен привести к определённому заключению через конечное число шагов. Напротив, логическая машина, действующая по определённым правилам, не обязательно должна прийти когда-либо к заключению. Она может продолжать проходить через различные шаги, никогда не останавливаясь; при этом она будет либо совершать последовательность действий всё увеличивающейся сложности, либо повторять один и тот же процесс, подобно вечному шаху в шахматной партии. Это действительно имеет место в случае некоторых парадоксов Кантора и Рассела».

Значит, и машины пасуют перед логическими парадоксами? Если бы только перед парадоксами…

Недавно вышла в свет прелюбопытнейшая книжица М. Таубе «Вычислительные машины и здравый смысл. Миф о думающих машинах». Там сказано: «В свете теоремы Гёделя о неполноте элементарной теории чисел существует бесконечное множество задач, которые принципиально неразрешимы этими машинами, как бы сложна ни была их конструкция и как бы быстро они ни работали. Очень может быть, что человеческий мозг — это тоже «машина» с присущими ей ограничениями и с неразрешимыми для неё математическими проблемами. Даже если это так, то человеческий мозг воплощает в себе систему операционных правил, значительно более могущественную, чем у мыслимых в настоящее время машин. Так что в ближайшем будущем не видно перспектив замены человеческого разума роботами».

Неужели и тут «движенья нет»?

Прежде чем окончательно, уяснить неутешительный вывод Таубе, давайте разберёмся, о какой ограниченности машины по сравнению с человеком твердят кибернетики.

Если верить историческому анекдоту, Архимед открыл свой знаменитый закон гидростатики нежданно-негаданно — лёжа в ванне. Взволнованный внезапно осенившей его идеей, учёный, забыв одеться, побежал по улицам Сиракуз с криком: «Эврика!»

Отголосок этого восклицания великого эллина через двадцать с лишним веков зазвучал в слове «эвристика». Таким термином современные учёные пользуются, когда говорят о характерных особенностях человеческого мышления.

Инженер денно и нощно бьётся над какой-нибудь технической головоломкой. Он уже изрисовал чертежами ворох бумаги, он перечитал груду книг, он прибегал и к моделям и к расчётам. Увы, нужная конструкция «не вытанцовывается». Проходяг часы, дни, недели… Мысль зашла в тупик. И отвязаться-то от идеи не отвяжешься: она неотступно стоит перед внутренним оком изобретателя. Вдруг… «Эврика!» И на бумагу ложится выстраданная бессонными ночами долгожданная находка. «Внезапное озарение», — говорит инженер. «Эвристическая деятельность», — говорят учёные. Технология этого мучительного и радостного творческого процесса — величайшая загадка природы.

К пионерам науки об эвристике относят Декарта и Лейбница, великих математиков и философов своего времени. В их сочинениях эвристика зачастую отождествляется с интуицией. В книге «Правила для руководства ума» Рене Декарт чётко отграничивает интуитивную форму познания от цепи последовательных логических умозаключений. Он рекомендует в ряде случаев «отбросить все узы силлогизмов, — вполне довериться интуиции как единственно остающемуся у нас пути». О неосознаваемых сторонах мыслительного процесса, наряду с его логической структурой, говорили Бенедикт Спиноза и Анри Пуанкаре, Альберт Эйнштейн и А. Колмогоров.

Ситуации, когда нет готового алгоритма, готового набора правил для решения задачи, возникают на каждом шагу — в работе шахматиста и писателя, следователя и режиссёра, врача и экономиста. А порой и вовсе не известно, разрешима ли задача вообще. Какими же путями бредёт ищущая человеческая мысль?

Систематический перебор вариантов — вот что считалось одно время основой творческого процесса. На эту идею опиралось и конструирование кибернетических соперников человека, например электронных шахматистов. Но странное дело: машина проигрывала даже не ой каким сильным партнёрам! А странное ли? Количество всевозможных позиций в шахматных партиях выражается невообразимо, чудовищно огромным числом — единицей со ста двадцатью нулями! Надо сказать, что атомов во вселенной в миллиарды миллиардов раз меньше. Если бы вы в поисках наилучшего ответа на ход противника механически перебирали в уме все возможные ходы и их последствия, вы бы попали в такой цейтнот, что поседели бы за шахматной партией, так и не добравшись до эндшпиля. Между тем турнирный регламент отпускает, как известно, всего два с половиной часа на сорок ходов. И игроки укладываются в сроки. Значит, человек умеет какими-то неисповедимыми путями отсеивать никчёмные варианты. И даже далеко вперёд рассчитывать последствия необычных жертв. Вспомните изящные комбинации Морфи или Алехина! Машина же, при всём её быстродействии, чаще всего занимается формальной комбинаторикой, далёкой от подлинно творческой работы мысли. Правда, многое зависит от программы. Но вернёмся к рассуждениям Таубе о возможном, вернее, о невозможном для умных машин.

«Гигантский искусственный мозг, машины-переводчики, обучающиеся машины, играющие в шахматы, понимающие машины и т. п., заполнившие нашу литературу, обязаны своим «существованием» людям, пренебрегающим сослагательным наклонением. В эту игру играют так. Сначала заявляют, что, если не учитывать незначительные детали инженерного характера, машинную программу можно приравнять самой машине. Затем блок-схему программы приравнивают самой программе. И наконец, заявление, что можно составить блок-схему несуществующей программы для несуществующей машины, означает уже существование самой машины».

Автор, правда, поясняет свою мысль на примере электронных переводчиков, не шахматистов, но сути дела это не меняет.

Итак, машине чужда интуиция. И если машине суждено переводить, то лишь формально. Между тем язык невозможно формализовать целиком и полностью. Хотя бы потому, что он включает в себя всю математику, а математика не сводится к формальной системе, это доказано.

«Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству, — говорит американский учёный Рихард Курант. — Её основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки».

Самые строгие формалисты никогда всерьёз не отрицали участия человеческой интуиции даже в тех математических выкладках и умозаключениях, когда её вроде бы и не требовалось! (Слово «интуиция», замечает Таубе, употребляется здесь в смысле ничуть не более таинственном, чем обычные слова: «опыт», «ощущения».) Сказать «человек переводит неформально» — значит подчеркнуть, что в каждом акте перевода он пользуется своим арсеналом опыта и чувств. Кое-кто мог бы возразить: Дескать, словесное выражение опыта и чувств — это уже не что иное, как их формализация! Отвечая на такой выпад своему предполагаемому оппоненту, Таубе приводит контраргумент: нет ни малейшего намёка на то, что опыт и чувства можно исчерпывающе полно и абсолютно точно выразить словами. На эквивалентности всего словесно выразимого нашему опыту и чувствам способен настаивать только тот, кто отрицает свою принадлежность к человеческому роду, кто никогда не слушал музыку, не имеет представления о живописи, никогда не влюблялся и не был ничем глубоко захвачен. Вывод: переводить формально с одного человеческого языка на другой невозможно. А машина способна переводить только так, ведь ей чужда интуиция!

Значит, «в свете известной неформальности языка и смысла, изыскания в области машинного перевода носят характер не истинно научных исследований, а романтического поиска… Нашим инженерам-электрикам и энтузиастам вычислительных машин следует либо прекратить болтовню об этом, либо принять на себя серьёзное обвинение в том, что они сочиняют научную фантастику с целью пощекотать читателям нервы в погоне за лёгкими деньгами и дешёвой популярностью».

Так считает Мортимер Таубе, профессор Колумбийского университета, специалист по программированию и применению электронных машин в области научной информации.

Здесь было бы неуместно ввязываться в спор с профессором Таубе, это не входит в цели нашего разговора о логических несуразицах. Профессор, по-видимому, чуточку переборщил в своих пессимистических прогнозах, хотя в чём-то он, безусловно, глубоко прав. Нам гораздо важнее усвоить, что парадоксы отнюдь не забавные словесные выкрутасы, а самый настоящий пробный камень совершенства нашей мыслительной схемы.

Да, трудности, связанные с пониманием непрерывности, бесконечности, движения, ещё в древние времена служили предметом жарких философских дискуссий. И это не прошло бесследно для научного прогресса. Апории Зенона, открытие иррациональных точек смутили античных геометров, помешали им развить искусство численных операций, заставили их искать выход из тупика в дебрях чистой геометрической аксиоматики. Стремление дать строгое непротиворечивое обоснование всем логическим и геометрическим построениям поглотило силы лучших умов древней Греции. Так, по словам Куранта, началось одно из самых странных и долгих блужданий в истории математики. При этом, по-видимому, были упущены богатые возможности. Груз древнегреческих геометрических традиций подавлял идею числа, он затормозил эволюцию арифметики и алгебры, цифрового и буквенного исчисления, ставшего позднее фундаментом точных наук. Лишь в XVII столетии греческий идеал кристально чистой аксиоматики и дедукции, строгой в своей систематичности, потускнел в глазах учёных. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчётливых определений и «очевидных», взаимно не противоречащих постулатов, уже не импонировало революционному духу новой математики. Предавшись оргии интуитивных догадок, слепо вверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, пионеры дифференциального и интегрального исчисления открыли новый математический мир, полный несметных богатств.

Однако мало-помалу экстатическое состояние ума, упоённого головокружительными успехами, стало уступать место трезвости, сдержанности, критицизму. В XIX веке устои новой математики подверглись ревизии. Были предприняты энергичные попытки уяснить понятие предела, подразумеваемое математическим анализом. Классический идеал доказательной строгости, логической безупречности, отвлечённой общности торжествовал снова. Но тут, как и во времена Зенона, на арену теоретических исканий вдруг высыпала анархическая гвардия парадоксов. Учёные снова заметались в тревоге, спасая пошатнувшееся здание математики. Кризис продолжается и по сей день.

Обратите внимание, насколько парадоксальна сама история парадоксов. Атомистическая математика, игнорировавшая парадоксы и приводившая к ошибкам, оказывается более плодотворной, нежели математика, построенная на принципе непрерывности, тяготеющая к строгим обоснованиям и устраняющая ошибки атомистов! Так обстояло дело не только в глубокой древности. «С конца XVI века учение о непрерывности являлось характерной чертой схоластического застоя, — отмечает уже цитированный в этой главе профессор С. Я. Лурье, — борцы за возрождающуюся науку, став на точку зрения математического атомизма, привели математику к небывалому расцвету, создав заново ряд дисциплин. Однако и эти учёные сделали ряд ошибок и произвольных допущений; математики XIX века, став последовательно на точку зрения непрерывности пространства, исправили эти ошибки, дав методологию предельной процедуры».

И профессор Лурье, исходя из диалектичности научного прогресса, предсказывает «возможность нового расцвета математики на почве возрождения нового математического атомизма — несравненно более совершенного, чем учения не только Демокрита, но также Кеплера, Кавальери, Ньютона и Лейбница»

Эти слова произнесены в тридцатые годы. И содержащаяся в них идея кое-кому может показаться архаичной, отвергнутой всем ходом развития современных наук. Нет, тысячу раз нет!

Откроем монографию А. Н. Вяльцева «Дискретное пространство-время», изданную в 1965 году. Эта книга являет собой редкостное сочетание научной глубины и популяризаторского блеска в изложении темы, которую никак не назовёшь тривиальной, ибо она вот уже не первый десяток лет, лежит в стороне от обычных исследовательских и тем, паче журналистских троп, Почитайте её и поразмыслите над такими словами её автора: «Современный математический анализ по праву можно назвать теорией непрерывных процессов. Возможность непрерывного движения принимается при этом как нечто данное свыше. По существу же во всех относящихся к делу случаях речь идёт о способности движущихся тел достигать разумной цели. Достаточно напомнить в этой связи о Диогене, который в ответ на заявление Зенона о том, что непрерывное движение невозможно, начал ходить взад и вперёд перед своей бочкой, демонстрируя одновременно и чувственную реальность движения и убожество своего мышления. В математическом анализе факт достижения разумных целей воплощён в понятии предельного перехода. Именно эту черту математического анализа следует считать главной причиной успешного применения его в области физики, и значит, надо признать, что непрерывный анализ решает проблемы физики чисто по-диогеновски.

Применение дифференциального исчисления к подсчёту электрического заряда тел, периода радиоактивного распада ядер и некоторых других прерывных эффектов даёт хорошие результаты, хотя ни в атомистической природе электричества, ни в дискретном характере радиоактивного излучения никто из нас никогда не сомневался. Дееспособность непрерывного математического анализа должна, как можно думать, потерпеть крах на той стадии познания природы, когда дискретность мира станет существенной чертой его математической картины. По всей видимости, современная физика уже стоит на пороге этой стадии… Тогда придётся оторваться от классической почвы, отказаться от помощи классических «лесов» и вступить в область оригинального математического творчества — в собственную область математики дискретного мира. Эта новая математика, надо думать, будет находиться по отношению к классической примерно в том же положении, в каком квантовая физика находится к классической физике, то есть будет сводиться к ней, но не выводиться из неё. Для продвижения вперёд потребуется поэтому деятельность умов гениальных. Поприще для них, возможно, окажется не менее широким, чем в случае классической математики, то есть работы хватит на несколько поколений. В практической возможности новой математики сомневаться не приходится: ведь это будет математика реального, живого, окружающего нас и составляющего нас мира. Что касается внутренней привлекательности новой математики, то и в этом отношении дискретная математика нисколько не уступает непрерывной. Истины дискретной математики привлекают к себе своей таинственностью и поразительной красотою.

Какая это заманчивая задача — создать новую математику, опираясь на великий свод математики классической! Как важно для математиков, особенно молодых, понимать, где лежат ещё не разработанные карьеры их науки; как важно для них знать, что математический аппарат ещё ждёт своих Лагранжей и Гамильтонов!»

Здесь опять-таки для нас интересны не столько пути, которыми пойдёт математика будущего, сколько сам факт: математика, как и логика, никогда не была чем-то законченным, завершённым, застывшим в своём развитии. И сегодня она не представляет собой каталог готовых истин. Напротив, её ждут новые откровения и разочарования, новые революции и спады, новые драматические столкновения идей, в которых, словно в горниле, будут выкристаллизовываться новые истины.

Мы стоим в преддверии века автоматики. Человек твёрдо намерен построить машину, способную мыслить и творить, невзирая ни на какие теперешние логические ограничения.

Но для этого мало овладеть в совершенстве уже имеющимся логическим аппаратом. Требуются широкие исследования путей и способов, какими идёт человеческий мозг в своём стремлении достигнуть истинного знания. Как далёк век Ньютона от века Зенона! Но ещё дальше ушли мы от века Ньютона. По объёму накопленных знаний. Между тем о технологии своего мышления Бертран Рассел и Курт Гёдель смогли бы рассказать едва ли больше, чем Зенон и Аристотель. Иными словами, нам известно всё, что следует за восклицанием: «Эврика!» Но нам ещё предстоит узнать то, что ему предшествует — в недрах человеческого мозга.

Мы знаем законы политической экономии, открытые Марксом, но пока мы не знаем законов эвристической деятельности, приёмов и способов мышления, которые привели Маркса к его гениальным открытиям. Ведь каждое выдающееся открытие является вместе с тем и шагом вперёд в развитии техники мышления. Ленин писал, что если Маркс не оставил «Логики» (с большой буквы), то он оставил логику «Капитала». Если бы удалось овладеть приёмами и способами мышления Маркса, насколько ускорился бы прогресс в самых разных областях науки — в биологии, геологии, языкознании, многих иных! В том числе и в самой логике. Думается, приведённых примеров достаточно, чтобы составить впечатление об огромной и практической пользе логики. Недаром Джордж Томсон, английский учёный, автор нашумевшей книги «Предвидимое будущее», заявил: «…наш век знаменует собой начало науки о мышлении». И эта наука не стоит на месте.

А как же всё-таки быть с парадоксами? Неужели ограниченность математики и кибернетики непреодолима?

Вместо ответа разрешите пересказать поучительную притчу-парадокс, которая появилась в начале сороковых годов и с тех пор не менее десяти раз дискутировалась в серьёзном философском журнале «Майнд», издающемся в Великобритании.

Жил-был пират по кличке Чёрная борода. Долго держал он в страхе торговые корабли. В один прекрасный день грозный морской браконьер оказался за решёткой. Его приговорили к повешению. «Казнь свершится в полдень, в один из семи дней следующей недели, — сказал судья преступнику. — И мы заготовили для тебя маленький сюрприз: ты не будешь знать заранее, в какой именно день тебя вздёрнут на виселицу. Об этом тебе сообщат лишь утром того самого рокового дня, когда перед тобой разверзнутся врата ада. Так что тебя постигнет неожиданное возмездие».

Судья слыл человеком слова. И Чёрная борода помрачнел, отлично представляя себе, что такое мучительная неизвестность ожидания внезапной смерти. Теперь уж ему не заснуть спокойно ни в одну из ночей. Ох, и жестокий же он был человек, этот судья!

Однако адвокат пирата только посмеивался. «Не вешай нос! — хлопнул он по плечу своего подзащитного, когда они остались вдвоём. — Приговор осуществить невозможно». Чёрная борода вытаращил глаза. «Да-да, невозможно, — продолжал адвокат. — Совершенно очевидно, что они не смогут повесить тебя в следующую субботу. Ибо суббота — последний день недели. И если бы ты оставался цел и невредим в пятницу после полудня, то ты смекнул бы с полной уверенностью, когда именно будет приведён в исполнение приговор, — на другой день, в субботу. Таким образом, ты знал бы о времени казни накануне, то есть раньше, чем тебе сообщили бы об этом в субботу — утром. Остаётся пятница. А теперь поразмысли-ка: ведь пятница — последний день перед субботой. В субботу тебя не повесят. Выходит, казнь должна быть назначена самое позднее на пятницу. Но они не вправе так поступить, ибо ты опять знал бы об этом уже в четверг после полудня! Понятно, что в пятницу тебе тоже не грозят никакие неприятности. Остаётся вроде бы четверг. Ничуть не бывало! О казни в четверг ты знал бы опять-таки накануне — в среду. Тогда, быть может, среда? Тоже нет: о своей гибели в этот день ты знал бы во вторник. И так далее— вплоть до завтрашнего дня. Но завтра они тебя не повесят, ибо ты уже сегодня знаешь, что завтрашний день — последний, когда должно свершиться правосудие. Поэтому ложись спать и будь спокоен: приговор неосуществим».

«Тысяча чертей! — возликовал пират, потрясённый железной логикой адвоката. — Не будь я Чёрной бородой, если вы не правы, сэр!»

Старый разбойник неожиданно ускользнул из-под меча, занесённого карающей десницей Фемиды. Так по крайней мере считали многие учёные вплоть до 1951 года, как вдруг… В июле того же года в том же журнале «Майнд» появилась статья профессора логики Майкла Скривена. Вот её суть, переданная в тех же образах.

В один из дней на следующей неделе, кажется, в «чёрную пятницу», безмятежно спавшего пирата разбудил звон ключей. Двери камеры распахнулись со скрипом. «Вы пришли меня освободить?» — ухмыльнулся пират и… обомлел: вместе с тюремщиком в камеру ввалился палач. «Мы пришли сказать тебе, что казнь назначена на сегодня», — с мрачной невозмутимостью ответили гости. «Но на каком основании?!» — возмутился Чёрная борода.

Действительно, на каком основании? Неужто ошибся адвокат, этот дока по части казуистических вывертов? Нет, не ошибся. Его умозаключения были безукоризненно правильными. И из них совершенно неотвратимо вытекало следствие, именуемое логическим противоречием — парадоксом. Но… Ох, уж это вездесущее «но»! Без него не обошлось и тут, где вроде бы всё с такой ясностью, с такой логической прозрачностью свидетельствовало о бессилии законов перед анархией парадокса. А между тем человеческая реальность оказалась сильнее логического парадокса.

Когда адвокат убедил пирата в безнаказанности, Чёрная борода, уверенный в логической ошибке судьи, перестал ждать уготованной ему расплаты. Стало быть, визит палача и предупреждение о сроке казни действительно явились неожиданностью для преступника! Перечитайте ещё раз приговор, и вы убедитесь, что он приведён в исполнение в полном соответствии с законом, причём не только юридическим, но и логическим.

Не ждёт ли столь же бесславная кончина и теперешние логические парадоксы? Не подпишет ли им смертный приговор наука завтрашнего дня?

«Нет!» — вещает холодный рассудок, слепо подчиняющийся кодексу нынешней логики и безоговорочно капитулирующий перед парадоксами-.

Так рассуждал Зенон Элейский.

Так рассуждал Курт Гёдель.

Так рассуждает и Мортимер Таубе, доводы которого журнал «Знание — сила» окрестил «возражениями адвоката дьявола».

Но ведь так же точно рассуждал и самоуверенный адвокат из рассказа о Чёрной бороде! И оконфузился, опровергнутый живой реальностью.

Кстати, об «адвокате дьявола». В соответствии с требованиями католической религии к лику святых мог быть причислен лишь тот, кто ещё до своего «успения», до своей кончины, успевал свершить минимум два чуда. И вот преподобные отцы приступали к обряду канонизации, устраивая инсценированное судилище, где фигурировал «адвокат дьявола». Он подвергал сомнению чудеса, требовал доказательств их свершения. Именно так скептик Таубе, апеллируя к дьявольскому наследию парадоксов, сомневается в сенсационных успехах кибернетики и не меньше в посулах её энтузиастов, требует доказать реальность кибернетических чудес, картинно расписанных в многочисленных статьях и книгах.

Энтузиасты, разумеется, недолюбливают скептиков. А ведь критика, исходившая от скептиков, не раз помогала энтузиастам стать точнее, определённее, строже в выводах, что в конечном счёте шло на пользу науке. И проблема, зашедшая в тупик, рано или поздно оказывалась сдвинутой с мёртвой точки.

В 1900 году в Париже состоялся международный математический конгресс. На нём известный учёный Давид Гильберт изложил тридцать математических проблем. Формулировались они чрезвычайно просто, порой даже совсем элементарно и популярно. Однако ни одна из них в то время не была решена. Более того: не подавала надежды на возможность решения. Минули десятилетия. За это время мало-помалу почти все «неразрешимые» задачи были решены, И во многих случаях благодаря тому, что математики, взбудораженные проблемами Гильберта, обогатили науку новыми, более глубокими, более совершенными методами. То, что казалось безнадёжно трудным в 1900 году, стало по плечу новой математике. Неужто же непрерывный прогресс в математической логике не приведёт рано или поздно и к разрешению парадоксов? Уже достигнуты определённые успехи в этом направлении. (Например, созданная Расселом «теория типов» в какой-то мере обезвреживает парадокс брадобрея.)

Да, именно скептики не раз помогали энтузиастам сдвинуть науку с мёртвой точки.

Парадоксально, но несомненно — чтобы началось движение, потребовалось сказать:

— Движенья нет!