Глава 44. МИСТЕР АПОЛЛИНАКС В НЬЮ-ЙОРКЕ

Когда мистер Аполлинакс посетил Соединенные Штаты,

Чайные чашки звенели от его смеха.

(Т. С. Эллиот)

П. Бертран Аполлинакс, блестящий протеже знаменитого французского математика Никола Бурбаки, до весны 1960 года был мало известен даже во Франции. Многим известно, что именно весной 1960 года весь математический мир был потрясен появлением в одном французском математическом журнале небольшой заметки, в которой давалось определение функции, ныне известной как «функция Аполлинакса». С помощью этой замечательной функции Аполлинакс смог одним ударом 1) доказать великую теорему Ферма; 2) построить контрпример (карту с 5693 областями) к знаменитой топологической проблеме четырех красок; 3) заложить основу для сделанного три месяца спустя Ченнингом Чита открытия — обнаружения 5693-значного целого числа, которое одновременно и совершенно, и нечетно (до того ни одного такого числа известно не было).

Читатель поймет, с каким волнением я получил от профессора Чита из Нью-Йоркского университета приглашение на чаепитие, где Аполлинакс должен был быть почетным гостем. Профессор Чита живет в Гринвич-Вилледж, в большом каменном доме неподалеку от Пятой авеню. Дом этот принадлежит миссис Орвиль Флаккус, вдове известного финансиста. Студенты расположенного по соседству Нью-Йоркского университета называют его Дворцом Флаккуса. Когда я пришел, встреча была в полном разгаре. Я узнал нескольких профессоров математического факультета и догадался, что большинство молодых людей — аспиранты того же факультета.

Ошибиться в том, кто из присутствующих был Аполлинаксом, было невозможно. Он явно находился в центре всеобщего внимания. Высокий мужчина лет тридцати с небольшим, с резкими чертами лица, которые нельзя было назвать привлекательными, он производил впечатление человека, в котором физическая мощь сочетается с выдающимся интеллектом. У него была небольшая черная эспаньолка, а из-под твидового пиджака выглядывал ярко-красный жилет.

Пока миссис Флаккус наливала мне чашку чаю, я услышал, как одна молодая девушка сказала:

— Мистер Аполлинакс, это серебряное кольцо у вас на пальце сделано в виде листа Мёбиуса?

Аполлинакс снял кольцо и протянул девушке.

— Да. Его сделал мой друг ювелир, владелец мастерской на набережной Сены.

Говорил Аполлинакс с сильным французским акцентом.

— С ума сойти! — воскликнула девушка, возвращая кольцо. — А вы не боитесь, что когда-нибудь ваш палец может исчезнуть?

Аполлинакс громко засмеялся.

— Если от этого можно сойти с ума, то у меня есть для вас кое-что, от чего подавно можно потерять рассудок.

С этими словами Аполлинакс сунул руку в боковой карман и вытащил оттуда плоскую квадратную коробочку из дерева. В ней оказалось семнадцать белых пластмассовых плиток, плотно прилегающих друг к другу (рис. 225, слева). Плитки были такой толщины, что пять маленьких плиток в центре коробочки имели форму кубов. Аполлинакс попросил обратить внимание на число кубиков, вывалил все плитки на стол и быстро собрал их снова в коробочку, но на этот раз так, как показано на рис. 225 справа.

Рис. 225 К таинственному исчезновению кубика.

Все плитки, как и прежде, плотно прилегали друг к другу, но кубиков теперь было только четыре. Один кубик исчез! Девушка с недоверием посмотрела сначала на плитки в коробочке, потом на Аполлинакса, который трясся от хохота.

— Позвольте мне немного рассмотреть их, — попросила она.

Взяв из рук Аполлинакса коробочку, девушка удалилась с ней в дальний угол комнаты.

— Кто эта птичка? — спросил Аполлинакс у профессора Чита.

— Простите? — переспросил профессор.

— Ну, та девушка в свитере.

— Ах эта. Ее зову Нэнси Эллискот. Она из Бостона, одна из лучших студенток-математиков.

— Очень мила.

— Вы находите? Я никогда не видел, чтобы она носила что-нибудь, кроме джинсов и того грязного свитера, что на ней сейчас.

— Мне нравится непринужденность жителей Гринвич-Вилледж, заметил Аполлинакс, — они все так похожи друг на друга.

— Иногда, — подал голос кто-то из гостей, — непринужденность трудно отличить от невроза.

— Это напоминает мне, — сказал я, — математическую загадку, которую я недавно слышал. В чем разница между психопатом и неврастеником?

Никто не ответил на мой вопрос.

— Психопат думает, — продолжал я, — что дважды два — пять.

Неврастеник знает, что дважды два равно четырем, и это его нервирует.

Раздался вежливый смех, но Аполлинакс помрачнел.

— У неврастеника есть все основания нервничать. Разве Александр Поуп не писал: «О боги! Почему дважды два непременно должно быть равно четырем?» И действительно, почему? Кто может сказать, почему масло масляное? Кто смеет утверждать, что даже простая арифметика свободна от противоречий?

Аполлинакс вынул из кармана записную книжку и написал на чистой страничке следующий бесконечный ряд:

4–4 + 4–4 + 4–4 + 4…

— Чему, как вы думаете, — спросил он, — равна сумма этого ряда? Если его члены сгруппировать так:

(4–4) + (4–4) + (4–4) +…,

то сумма, очевидно, равна нулю. Но если сгруппировать их иначе, например так:

4 — (4–4) — (4–4) — (4–4) — …,

то сумма, очевидно, будет равна четырем. Можно сгруппировать члены ряда еще одним способом:

4 — (4–4) + (4–4) + (4–4) +…).

Тогда сумма ряда будет равна четырем минус сумма того же ряда. Иначе говоря, удвоенная сумма равна четырем, следовательно, сама сумма должна быть равна половине четверки, или двум.

Я хотел было сделать замечание, но тут среди гостей протолкалась Нэнси и сказала:

— Эти плитки не дают мне покоя. Что случилось с пятым кубиком?

Аполлинакс смеялся до слез.

— Я же дал вам намек, милая. Скорее всего кубик ускользнул в высшее измерение.

— Пытаетесь меня одурачить?

— Хотел бы, — вздохнул Аполлинакс. — Четвертое измерение, как вам известно, простирается вдоль четвертой координаты, перпендикулярной трем координатам трехмерного пространства. Рассмотрим теперь куб. У него четыре главные диагонали, каждая из них идет от одной вершины куба через его центр к противоположной вершине. Вследствие симметрии куба каждая диагональ, очевидно, ортогональна к трем остальным диагоналям. Почему бы кубу, если ему это нравится, не ускользнуть по четвертой координате?

— Но мой преподаватель физики, — сказала Нэнси, нахмурив брови, — учил меня, что четвертым измерением служит время.

— Чепуха! — фыркнул Аполлинакс. — Общая теория относительности давно мертва. Разве ваш профессор не слышал о роковом изъяне эйнштейновской теории, недавно обнаруженном Хилбертом Донглем?

— Сомневаюсь, чтобы это была правда, — ответила Нэнси.

— Идею Донгля легко объяснить. Если вы быстро закрутите шар из мягкой резины, что произойдет с его экватором? Он расширится. В рамках теории относительности вы можете объяснить это расширение двумя способами. Во-первых, вы можете предположить, что вся Вселенная представляет собой некую фиксированную систему отсчета — так называемую инерциальную систему отсчета. Тогда вы говорите, что сфера вращается, а инерция заставляет экватор расширяться. Во-вторых, вы можете принять за фиксированную систему отсчета сферу, полагая, что вращается остальная Вселенная. В этом случае вы говорите, что массы движущихся звезд создают тензорное гравитационное поле, которое оказывает сильнейшее воздействие на экватор неподвижного шара. Конечно…

— Я бы предположил несколько иную формулировку, — вмешался профессор Чита. — Я бы сказал, что существует относительное движение сферы и звезд и это относительное движение обусловливает определенные изменения в временной структуре Вселенной. Образно выражаясь, можно сказать, что давление этой пространственно-временной матрицы и приводит к растяжению экватора. Растяжение можно считать либо гравитационным, либо инерциальным эффектом. И в том и в другом случае гравитационные уравнения абсолютно одинаковы.

— Очень хорошо, — ответил Аполлинакс. — То, о чем вы говорите, Эйнштейн называл принципом эквивалентности — эквивалентности гравитации и инерции. Как любит говорить Ганс Рейхенбах, подлинного различия между ними нет. Но позвольте вас спросить: разве теория относительности не запрещает физическим телам двигаться с отрицательными скоростями, превышающими скорость света? И все же, приняв резиновый шар за фиксированную систему отсчета и лишь слегка закрутив его, мы сможем придать Луне относительную скорость, намного превосходящую скорость света.

Профессор Чита медленно перевел дыхание.

— Дело в том, — продолжал Аполлинакс, что мы просто не в состоянии удерживать шар неподвижно, когда Вселенная вращается вокруг него. Это означает, что вращение шара мы должны считать не относительным, а абсолютным. Астрономы сталкиваются с аналогичной трудностью при попытке объяснить так называемый поперечный эффект Доплера. Если Земля вращается, то относительная поперечная скорость между обсерваторией и лучом света, идущим от далекой звезды, мала, поэтому мало и доплерово смещение. Если же считать, что вращается Вселенная, то поперечная скорость далекой звезды относительно обсерватории очень велика, и доплерово смещение должно быть большим. Поскольку доплерово смещение мало, мы вынуждены принять допущение о том, что вращается именно Земля. Тем самым наносится решающий удар по теории относительности.

— А как же, — пробормотал Чита, слегка бледнея, — согласовать ваше утверждение с тем фактом, что эксперимент Майкельсона—Морли не обнаружил движения Земли относительно неподвижного пространства?

— Очень просто, — ответил Аполлинакс. — Вселенная бесконечна. Земля обращается вокруг Солнца, Солнце в свою очередь движется через Галактику, Галактика как-то перемещается относительно других галактик, те образуют скопления галактик, которые находятся в движении по отношению к другим галактическим скоплениям, скопления входят как составные части в сверхскопления и т. д. Иерархия бесконечна. Сложите бесконечный ряд векторов, имеющих случайную величину и случайное направление, и что вы получите? Они взаимно уничтожатся. Нуль и бесконечность — близкие родственники. Позвольте продемонстрировать это на примере.

Он указал на большую вазу, стоявшую на столе.

— Предположим, что ваза пуста, и начнем наполнять ее числами. Если угодно, вы можете представить себе, что числа написаны на маленьких карточках. За минуту до полудня положим в вазу числа от 1 до 10, а затем извлечем из нее число 1. За полминуты до полудня положим в вазу числа от 11 до 20 и вынем из нее число 2. За треть минуты до полудня положим в вазу числа от 21 до 30 и вытащим число 3. За четверть минуты до полудня опустим в вазу числа от 31 до 40 и т. д. Сколько чисел останется в вазе в полдень?

— Бесконечно много, — ответила Нэнси. — Каждый раз, когда вы брали из вазы одно число, вы клали в нее десять чисел.

Аполлинакс закудахтал от смеха.

— В вазе ничего не останется! Останется ли в вазе число 4? Нет, мы вынем его во время четвертой операции. Останется ли в вазе число 518? Нет, мы извлечем его при 518-й операции. Числа, оставшиеся в вазе в полдень, образуют пустое множество. Теперь вы видите, насколько бесконечность близка к нулю?

Тут с подносом в руках к нам подошла миссис Чита. На подносе были разного рода печенья и сласти.

— Воспользуюсь аксиомой выбора Цермело, — сказал Аполлинакс, потянув себя за эспаньолку, — и возьму по штучке каждого сорта.

— Как вы относитесь к современной квантовой теории, — спросил я, немного погодя, — если считаете, что теория относительности мертва? Верите ли вы в то, что поведение элементарных частиц по самому своему существу случайно, или считаете, что случайность в их поведении отражает лишь наше незнание тех законов, которым оно подчиняется?

— Я придерживаюсь современных взглядов, — сказал Аполлинакс. — Можно даже сказать, что я иду гораздо дальше. Я согласен с Карлом Поппером, что существуют логические причины, по которым детерминизм нельзя более принимать всерьез.

— В это трудно поверить, — заметил кто-то.

— Ну что ж, сформулируем нашу мысль несколько иначе. Существуют такие отрезки будущего, которые в принципе никогда нельзя предсказать правильно, даже если вы располагаете полной информацией о состоянии Вселенной в данный момент. Позвольте продемонстрировать.

Он вытащил из кармана чистую карточку, какие обычно используют в библиотечных каталогах, и, держа ее так, чтобы никто не мог видеть, что он на ней пишет, нацарапал что-то и передал карточку мне, держа ее исписанной стороной вниз.

— Положите в правый карман ваших брюк.

Я исполнил указание.

— На карточке, — пояснил Аполлинакс, — я описал одно будущее событие. Оно еще не произошло, но заведомо должно либо произойти, либо не произойти, прежде чем наступит, — тут он взглянул на свои часы, — шесть часов.

Вынув из кармана еще одну чистую карточку, он протянул ее мне.

— Я хочу, — сказал Аполлинакс, — чтобы вы попробовали догадаться, произойдет ли то событие, которое я только что описал на первой карточке. Если вы считаете, что оно произойдет, напишите на той карточке, которая у вас в руках, «да». Если вы думаете, что оно не произойдет, напишите «нет».

Я начал было писать, но Аполлинакс схватил меня за руку.

— Подождите, старина. Если я увижу ваше предсказание, то смогу что-нибудь предпринять для того, чтобы оно не сбылось. Подождите, пока я не отвернусь, и не давайте никому подсматривать то, что вы напишете.

Он отвернулся и до тех пор, пока я не кончил писать, старательно разглядывал потолок.

— А теперь положите карточку со своим предсказанием к себе в левый карман, где его никто не сможет увидеть.

Он снова повернулся ко мне.

— Я не знаю вашего предсказания, а вы не знаете, в чем состоит событие. Вероятность того, что вы угадали правильно, равна 1/2.

Я кивнул.

— Я предлагаю вам пари. Если ваше предсказание ошибочно, вы платите мне десять центов. Если же оно верно, я плачу вам миллион долларов.

Все удивились.

— Вот это ставка, — проговорил я.

— А пока мы ждем, — продолжал Аполлинакс, обращаясь к Нэнси, — вернемся снова к теории относительности. Хотите знать, каким образом вы можете всегда носить относительно чистый свитер, даже если у вас есть только два свитера и вы их никогда не стираете?

— Я вся обратилась в слух, — ответила Нэнси улыбаясь.

— Не думайте плохого, — извинился Аполлинакс, — у вас есть и другие приметы, в том числе очень милые, но позвольте мне все-таки объяснить, как обстоит дело со свитерами. Вы должны носить самый чистый свитер (назовем его А) до тех пор, пока он не станет грязнее свитера В. Затем вы должны снять А и надеть относительно чистый свитер В. В тот момент, когда В станет грязнее А, вы снимаете В и снова надеваете А и т. д.

Нэнси сделала гримасу.

— К сожалению, я не могу ждать до шести часов, — сказал Аполлинакс, — тем более в такой теплый весенний вечер в Манхэттене. Вы случайно не знаете, не играет ли где-нибудь сегодня вечером Телониус Монк?

Нэнси широко раскрыла глаза.

— Конечно, знаю. Он играет как раз здесь, в Гринвич-Вилледж.

А вам нравится его манера исполнения?

— Я просто изучаю ее, — ответил Аполлинакс. — А теперь, если бы вы могли указать мне какой-нибудь ресторан, где мы с вами могли бы пообедать, то я бы объяснил вам тайну исчезновения кубика, а затем мы отправились бы слушать Монка.

После того как Аполлинакс, держа Нэнси под руку, ушел, слух о нашем пари быстро распространился среди гостей. Когда наступило шесть часов, все собрались, чтобы узнать, что же написали Аполлинакс и я. Прав оказался он. Событие было логически непредсказуемым, и я проиграл ему десять центов.

Для собственного развлечения читатель может попробовать отгадать, какое будущее событие предсказал Аполлинакс.

* * *

Многие читатели всерьез поверили в существование Аполлинакса (хотя я и сказал, что он был протеже Бурбаки, известного, но не существующего в действительности французского математика) и просили сообщить им, где можно подробнее прочитать о «функции Аполлинакса». И Аполлинакс и Нэнси, так же как и другие участники чаепития, — персонажи двух поэм Т. С. Эллиота «Мистер Аполлинакс» и «Нэнси», которыми открывается его сборник поэм 1909–1962 годов.

Кстати сказать, поэма «Мистер Аполлинакс» посвящена Бертрану Расселу. Когда Рассел в 1914 году посетил Гарвард, Эллиот присутствовал на его лекциях и они встречались за чашкой чая.

Эти встречи и послужили поводом для создания поэмы. Хилберт Донгль — это производное от Херберта Дингля, английского физика, утверждавшего, что если парадокс часов в теории относительности верен, то сама теория относительности неверна (см. главу о парадоксе часов в моей книге «Теория относительности для миллионов»[69]). Телониус Монк — это просто Телониус Монк.

Рассуждение Аполлинакса о грязных свитерах Нэнси заимствовано из небольшой поэмы Пита Хейна, имя которого уже неоднократно упоминалось в нашей книге. Парадокс с числами в вазе взят из «Математической смеси» Дж. Э. Литлвуда.[70] Он показывает, что при вычитании из трансфинитного числа «алеф-нуль» того же числа, умноженного на десять, может получиться нуль. Если перенумерованные карточки вынимать из вазы в последовательности 2, 4, 6, 8…, то в полдень в вазе останется счетное множество карточек, а именно все карточки с нечетными номерами. Точно так же можно вынуть бесконечно много карточек и оставить в вазе любое наперед заданное конечное число карточек. Если, например, вы хотите, чтобы в вазе осталось три числа, то нужно вынимать числа, начиная с 4. Вся ситуация в целом как нельзя лучше иллюстрирует то обстоятельство, что при вычитании из одного числа алеф-нуль другого такого же числа результат неопределен: в зависимости от природы тех или иных бесконечных множеств он может быть равен нулю, бесконечности или любому целому положительному числу.

Фокус с исчезающим кубиком основан на мало известном принципе, открытом Полом Кэрри. Подробное изложение этого принципа можно найти в главе «Исчезновение фигур» моей книги «Математические чудеса и тайны».[71]

Ответы

Фокус с плитками, показанный мистером Аполлинаксом, объясняется следующим образом. Когда все семнадцать плиток выложены в виде квадрата, стороны квадрата не абсолютно прямы, а слегка, на неуловимо малую величину, выпуклы. Когда один кубик взят из коробочки, а оставшиеся шестнадцать плиток перестроены так, что они снова образуют квадрат, его стороны чуть-чуть, на ту же неуловимо малую величину, вогнуты. Этим и объясняется уменьшение площади, покрываемой плитками. Чтобы еще больше усилить впечатление от фокуса, Аполлинакс, перестраивая плитки, незаметно вынул пятый кубик.

Предсказание, записанное Аполлинаксом, гласило: В левый карман вы положите карточку, на которой будет слово «нет».

Парадокс со знакопеременным рядом из четверок объясняется тем, что этот ряд не сходится и его сумма колеблется между 0 и 4. Для объяснения парадокса с вращением резинового шара и Вселенной необходимо более основательно погрузиться в теорию относительности.

Примечания:

6

Хэггис — шотландское национальное блюдо, которое готовится из овечьей или телячьей требухи и овсяной муки, приправленных луком и перцем.

7

Kraitchik M. Mathematical Recreations. — 1942, p. 184.

69

Гарднер М. Теория относительности для миллионов. — М.: Атомиздат, 1965.

70

Литлвуд Дж. Математическая смесь. — М.: Физматгиз, 1962.

71

Гарднер М. Математические чудеса и тайны. — М.: Наука, 1967.