Глава 10. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ С КАРТАМИ

В одном из рассказов Сомерсета Моэма есть такой диалог:

— Вы любите карточные фокусы?

— Терпеть не могу.

— Тогда я покажу вам один фокус.

После третьего фокуса жертва под каким-то предлогом сбегает.

Такую реакцию легко понять. Большинство карточных фокусов, если их показывает не искусный профессионал, а любитель, невыносимо скучны. Но существуют и другие карточные фокусы, для показа которых не требуется никакой ловкости рук. Именно они и представляют интерес с точки зрения математики.

Рассмотрим, например, следующий фокус. Зритель и фокусник садятся за стол друг против друга. Фокусник берет колоду карт, обращенных рубашкой вверх, и, перевернув двадцать из них рубашкой вниз, передает колоду зрителю. Зритель тщательно перетасовывает колоду, и перевернутые карты распределяются случайным образом. Держа колоду под столом так, чтобы ни он сам, ни фокусник не могли видеть карты, зритель отсчитывает двадцать верхних карт и, не вынимая из-под стола, передает фокуснику.

Фокусник берет стопку, но продолжает держать ее под столом так, чтобы не видеть карты. «Ни вы, ни я не знаем, — говорит он, — сколько перевернутых карт имеется среди тех 20, которые вы мне дали. Однако мне кажется, что их меньше, чем среди тех 32, которые остались у вас. Не глядя на карты, я сейчас переверну у себя еще несколько карт и попытаюсь уравнять число перевернутых карт в моей части колоды и в вашей».

Фокусник некоторое время возится с картами, делая вид, будто он пытается на ощупь определить у карт верхнюю и нижнюю стороны. Затем он вытаскивает свои карты наверх, раскладывает их на столе и пересчитывает перевернутые. Их оказывается ровно столько же, сколько среди тех 32 карт, которые находятся на руках зрителя.

Этот замечательный трюк лучше всего объяснять на примере одной из самых старых математических головоломок. Представьте себе, что перед вами два сосуда: в один из них налит литр воды, а в другой — литр вина. Один кубический сантиметр воды, взятый из первого сосуда, переливают в сосуд с вином и тщательно перемешивают. Затем берут один кубический сантиметр смеси и переливают его обратно в сосуд с водой. Чего теперь больше: воды в вине или вина в воде? (Мы пренебрегаем тем, что обычно смесь воды и спирта занимает меньший объем, чем сумма объемов спирта и воды до смешивания.)

Ответ таков: вина в воде ровно столько жее, сколько воды в вине. Забавно, что в этой задаче содержится слишком много информации, не относящейся к делу. Совершенно излишне знать, сколько жидкости в каждом сосуде, какое количество ее переливается и сколько раз повторяется переливание. Безразлично, тщательно ли перемешиваются жидкости. Несущественно даже то, одинаково ли количество жидкости в сосудах до переливания. Единственное действительно важное условие заключается в том, что каждый сосуд по окончании всех переливаний содержит точно такое же количество жидкости, какое было в нем сначала. Это условие означает, что какое бы количество вина мы ни взяли из сосуда с вином, нам непременно придется пополнить образовавшийся дефицит таким же количеством воды.[20]

Если читателю приведенные рассуждения кажутся непонятными, он сможет разобраться в них с помощью колоды карт. Пусть 26 карт, разложенных в ряд на столе рубашками вверх, изображают собой вино, а 26 карт, разложенных в ряд вверх картинками, — воду. Сколько бы вы ни перекладывали карты из одного ряда в другой, если в конце концов в каждом ряду окажется снова по 26 карт, то число карт, лежащих рубашкой вверх в одном ряду, будет в точности совпадать с числом карт другого ряда, лежащих вверх картинкой.

Возьмем теперь стопку из 32 карт, обращенных вверх рубашкой, и стопку из 20 перевернутых карт и будем перекладывать карты из одной стопки в другую любое число раз, следя лишь за тем, чтобы в меньшей стопке все время оставалось 20 карт. Переворачивая меньшую стопку, вы закрываете открытые карты и, наоборот, открываете карты, которые раньше были закрыты. Поэтому после переворачивания в обеих стопках открытых карт станет поровну.

Теперь уже всем, наверное, ясно, как получается фокус с картами. Сначала фокусник переворачивает ровно 20 карт. Когда же он получает стопку из 20 карт от зрителя, число перевернутых карт в ней равно числу перевернутых карт в оставшейся части колоды.

Затем, делая вид, что он переворачивает какие-то новые карты, фокусник на самом деле переворачивает всю стопку из 20 полученных им карт. В результате в этой стопке оказывается столько же перевернутых карт, сколько их содержится среди 32 карт, оставшихся у зрителя. Математиков этот фокус особенно удивляет, потому им и приходят в голову очень сложные объяснения.

На элементарных математических принципах основаны и многие фокусы с отгадыванием числа карт. Вот один из лучших фокусов этого типа. Повернувшись спиной к зрителям, попросите кого-нибудь из присутствующих взять из колоды любое число карт от 1 до 12 и, не называя числа отобранных карт, спрятать их в карман. Затем ваш помощник должен отсчитать сверху колоды ровно столько карт, сколько он уже спрятал у себя в кармане, и запомнить следующую за последней отсчитанной картой.

Когда все это будет сделано, вы поворачиваетесь к публике лицом и просите назвать чью-нибудь фамилию и имя, в которых было бы не менее 13 букв. Допустим, к примеру, кто-то назвал Бенвенуто Челлини. Держа в руках колоду карт, вы обращаетесь к зрителю, в кармане которого спрятаны отобранные им карты, и говорите, что он должен, называя каждую букву в имени и фамилии Бенвенуто Челлини, выкладывать при этом на стол по одной карте. Показывая, как это надо делать, вы снимаете по одной карте с вашей колоды и, произнося вслух каждую букву, выкладываете карты на стол рубашкой вверх. Затем вы собираете эти карты и кладете поверх оставшихся в колоде карт.

Всю колоду вы передаете зрителю и просите его положить те карты, которые лежат у него в кармане, сверху. Не забудьте подчеркнуть, что вы не знаете, сколько карт хранится у него в кармане.

И все же, несмотря на добавление к колоде неизвестного числа карт, после того как зритель произнесет по буквам «Б-Е-Н-В-Е-Н-У-Т-О Ч-Е-Л-Л-И-Н-И» и проделает все, о чем вы говорили, верхней картой в колоде окажется задуманная им карта!

Нетрудно понять, в чем здесь дело. Пусть х — число карт в кармане у зрителя и, следовательно, число карт, лежащих в колоде поверх задуманной им карты, а у — число букв в имени и фамилии названного зрителями лица. Показывая, как надо называть по буквам имя и фамилию, вы изменяете порядок у карт на обратный, вследствие чего «глубина залегания» замеченной карты становится равной у — х. Добавление к колоде х карт приводит к тому, что задуманная карта оказывается на (у — х + х) — м месте, считая сверху. Величины х и — х взаимно уничтожаются, и задуманная карта после того, как будет названо у букв, окажется сверху.

На более тонком использовании того обстоятельства, что результаты отдельных манипуляций с картами могут компенсировать друг друга, основан следующий фокус. Зритель выбирает любые три карты и кладет их закрытыми на стол, не показывая фокуснику. Остальные карты, тщательно перетасовав, зритель возвращает фокуснику.

«Все карты в колоде останутся на своих местах, — говорит фокусник. — Я лишь выну из колоды одну карту. По цвету и значению она совпадет с той, которую вы сейчас выберете». С этими словами он извлекает из колоды одну карту и, не открывая, откладывает ее в сторону.

Оставшиеся карты вручают зрителю и просят его открыть те три карты, которые он ранее выложил на стол. Предположим, что это были девятка, дама и туз. На каждую из открытых карт зритель кладет рубашкой вверх карты из колоды, считая при этом вслух.

Выкладывая карты на девятку, он считает от 10 до 15 (то есть всего выкладывает шесть карт). Дама имеет значение, равное 12 (валет— 11, король—13), поэтому, выкладывая карты на нее, счет нужно начинать с 12. Поскольку кончается счет всегда на 15, дама окажется закрытой тремя картами. Поверх туза (значение 1) нужно выложить 14 карт.

После того как нужное число карт выложено, фокусник просит зрителя сложить значения трех нижних (открытых) карт и найти в колоде карту, номер которой совпадает с полученной суммой. В настоящем примере эта сумма равна 22 (9+12+1), поэтому зритель вынимает двадцать вторую карту. Наконец, фокусник открывает отложенную в самом начале фокуса карту. Обе карты — вынутая только что зрителем и отложенная давным-давно фокусником — совпадают и по значению, и по цвету!

Как делается этот фокус? Выбирая свою карту, фокусник должен посмотреть цвет и значение четвертой карты снизу и отложить карту, совпадающую с ней по цвету и значению. Остальное получается автоматически. (Иногда эта карта оказывается среди трех нижних карт колоды. Как только зритель кончит считать карты, не забудьте попросить его открыть следующую карту.)

Я предоставлю читателю самому провести несложное алгебраическое доказательство того, что фокус должен получаться всегда без осечек».

Простота, с которой тасуются карты, делает их очень удобными Для демонстрации ряда вероятностных теорем, из которых многие достаточно удивительны и вполне заслуживают, чтобы их называли фокусами. Представим себе, например, что у каждого из двух людей имеется по колоде из 52 карт. Один из них считает вслух от 1 до 52. На каждый счет оба выкладывают на стол по одной карте рубашкой вниз. Какова вероятность того, что в какой-то момент на стол будут выложены одновременно две одинаковые карты?

Многие, наверное, считают, что эта вероятность мала, а на самом деле она больше 1/2! Вероятность несовпадения равна 1, деленной на трансцендентное число е. (Это не совсем так, но ошибка составляет менее 1/10⁶⁹) Поскольку число е равно 2,718…, вероятность совпадения приближенно равна 17/27, или почти 2/3. Если найдется желающий поспорить, что совпадения не будет, вы имеете довольно большие шансы выиграть пари. Интересно заметить, что, выкладывая карты из двух колод, мы получаем эмпирический метод для нахождения десятичного разложения числа е, аналогичный нахождению разложения числа π бросанием иглы Бюффона.[21] Чем больше карт мы возьмем, тем ближе к 1/е будет вероятность несовпадения.

Примечания:

2

Schaat W. L. Recreational Mathematics, 3d rev. ed. — 1963.

20

Можно сказать так: нехватка вина в сосуде с вином равна количеству вина в сосуде с водой.

21

Французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк Бюффон 1707–1788) одним из первых стал заниматься так называемой геометрической вероятностью и предложил определять число тг экспериментально, бросая иглу длиной l на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, проведенными на одинаковом расстоянии L (L > I) друг от друга, и подсчитывая, какую долю р (вероятности) составляют бросания, при которых игла пересекает одну из прямых, от общего числа бросаний: p = 2l/πL