Можно сделать из этого настоящую головоломку: написать программу, выполнение которой на компьютере дает число, случайным образом расположенное в данном интервале, например, между 0 и 1. Но это невозможно.

Некоторые языки содержат функцию, значение которой есть непредсказуемое число в данном интервале. Если ваш компьютер использует LSE, достаточно набрать на клавиатуре

? ALE(0)

чтобы получить в ответ непредсказуемое число между 0 и 1, которое может рассматриваться как полученное случайным образом.

На языке Бейсик команда RND(0) дает тот же эффект при условии, что предварительно выполнена инструкция RANDOM. Но Бейсик — это скорее общее имя для целого класса языков, чем обозначение совершенно определенного стандартизованного языка, не меняющегося от одной машины к другой. Так что сверьтесь с описанием к вашему компьютеру…

Если используемый вами язык допускает описанные выше или аналогичные возможности, то получить случайное число в интервале (0, 1) — это никакая не головоломка, это тривиально.

Но если в языке такой возможности нет,_; то это больше чем головоломка, это невозможно. Предположим, что мы сделали программу, производящую такое число. Эта программа не может иметь исходных данных, иначе это не она вытаскивает, случайное число, а именно вы при введении данных… Если же у нее нет данных, то она действует, исходя из констант. Но тогда нет переменных элементов, и последовательные запуски программы дают совпадающие результаты. Как же вы получите с помощью такой программы случайное число?[2]

Поэтому если ваш компьютер не допускает функции, дающей стохастическое число, я вижу только одно решение[3]: введите сами случайное число в ваш компьютер. Как это сделать? Вот предложение. Вы берете колоду из 52 карт, перетасовываете. Затем вы делите колоду на верхнюю и нижнюю части и берете из нижней части три верхние карты. Небольшая и очень простая программа читает три целых числа x, y, z. В качестве значений этих целых чисел вы задаете численные значения трех выбранных карт, считая туза за 1, валета — за 11, даму — за 12, короля — за 13. Компьютер вычисляет значение

(((x ? 1)/13 + у ? 1)/13 + z ? 1)/13.

Например, если вы достанете, как только что случилось со мной, семерку бубен, десятку червей и еще шестерку бубен, то

x =7 y= 10 z = 6

и компьютер получит 0.440601.

Эго значение не является воистину непредсказуемым. Как только вы достанете карты, вы уже сможете понять порядок величины результата. С другой стороны, таким способом вы не сможете получить более 13? = 2197 различных чисел. Но этого на самом деле достаточно для приложений, которые мы рассматриваем в этой книге. А если вы и в самом деле хотите получить что-либо непредсказуемое, прочтите следующий раздел.

Редко бывает нужно получить только одно случайное число. Чаще нужно получить много таких чисел. Большая часть игр, представленных в этой книге, требует, чтобы играющий с компьютером по ходу игры встречался, сообразно с предложенными правилами, с непредсказуемыми ситуациями. Нужно уметь порождать такие ситуации.

Поэтому нужно иметь возможность построить такую последовательность чисел, чтобы переход от одного числа к другому определялся простыми вычислительными правилами, но чтобы в то же время результат было трудно предсказать.

Может случиться, что используемый вами язык предоставляет эту возможность непосредственно в виде одной из конструкций языка.

Так, на LSE команда ALE(x) дает число, лежащее в интервале (0, 1), значение которого зависит от x, но непредвиденным образом и, кроме того, не специфицированным в языке: значение будет различным на разных машинах. Если вы трижды зададите один и тот же вопрос

? ALE (0.1)

вы каждый раз получите один и тот же ответ, но между ALE(0.1) и ALE(0.2) нет простого соотношения.

На Бейсике функция RND играет ту же самую роль. Она порождает непредсказуемую последовательность, значения которой зависят только от начального числа — оно одно и то же для данного компьютера. Инструкция RANDOM дает случайное число и ставит его начальным элементом последовательности, что позволяет порождать различные последовательности.

Может быть, интересно посмотреть, как можно строить подобные последовательности. Вот метод, предложенный А. Энгелем [ENG]. Если x — число между 0 и 1, то следующий за x элемент последовательности есть

дробная часть ((x + 3.14159)⁸)

Конечно, восьмая степень вычисляется тремя последовательными возведениями в квадрат! Она дает число между 9488 (для x = 0) и 86564. Очень небольшое изменение x вызывает сильное изменение (x + ?)⁸, и, в частности, оно может перейти через ближайшее целое, так что новое значение (дробная часть результата) может оказаться меньше предыдущей.

Возьмем, например, x = 0.52000; тогда

(x + 3.14159)⁸ = 32311.5437

так что за 0.5200 следует 0.5437.

Но для x = 0.52005 имеем

(x + 3.14159)⁸ = 32315.0736

и за 0.52005 следует 0.0736.

Так как мы берем дробную часть, то полученное число, разумеется, лежит между 0 и 1.

Упражнение 1. Поведение последовательности.

Речь идет о том, чтобы увидеть, как ведут себя числовые последовательности, порожденные таким образом. Для этого вычислим большое число членов последовательности, порожденной своим первым элементом. Поместим каждый из этих членов в один из 50 интервалов длины 0.02, составляющих интервал от 0 до 1. Выведем число членов последовательности, попавших в каждый из этих интервалов. Если числа из последовательности равномерно распределены в интервале (0, 1), мы должны будем обнаружить, что их количество в разных интервалах имеет ощутимую тенденцию к постоянству.

Составьте программу для проверки зтого утверждения. Начальное значение может, например, вводиться в начале каждого вычисления.

Упражнение 2. Поиск других последовательностей.

Число ?, использованное при вычислении наших последовательностей, не обладает никаким специальным свойством, и можно спросить себя, действительно ли выбор этого числа является наилучшим возможным. Числа (x + ?)⁸ довольно велики, а берем мы от них только дробную часть. При этом мы отбрасываем значащие цифры целой части, и — поскольку вычисления на компьютере проводятся с фиксированным количеством значащих цифр — на дробную часть остается относительно небольшое количество цифр. Предположим, что числа представляются с помощью 24 двоичных цифр. Нужно 14 двоичных цифр, чтобы записать 9488, так как

2¹³ = 8192 < 9488 < 2¹⁴ = 16384

и 17 цифр, чтобы записать 86564, так что остается лишь от 7 до 10 двоичных цифр на дробную часть.

Используя (x + a)⁸ вместо (x + ?)⁸ с меньшим значением a, можно ожидать сохранения большего количества значащих цифр для дробной части. Но нельзя взять a слишком близко к 1, так как тогда распределение чисел в интервале (0, 1) окажется плохим. Можете ли вы объяснить, почему?

Например, почему нельзя взять a = ⁸v2?

Если вы сделали упражнение 1, вы располагаете программой для проверки случайных чисел. Измените ее так, чтобы она осуществляла чтение

— постоянной а,

— начального значения последовательности.

На своем микрокомпьютере я выяснил, что а = 1.226 дает достаточно хорошие результаты. Но это наблюдение может меняться от машины к машине, так как все это очень чувствительно к способу, которым осуществляются умножения; в последней двоичной цифре результата умножения есть неопределенность, существенно влияющая на рассматриваемый процесс.

Теперь вы должны быть в состоянии получать последовательности случайных чисел. Либо эта возможность есть в используемом вами языке, либо вы можете построить непредсказуемую последовательность чисел методом, описанным в предыдущем разделе.

Упражнение 3. «Орел» или «решка».

Я не осмеливаюсь предложить это как игру; это скорее упражнение, чтобы научиться использовать случайные числа. Составьте следующую программу:

— она спрашивает вас, что вы загадали, «орла» или «решку», и читает ваш ответ;

— она порождает случайное число и затем сообщает вам, выиграли вы или проиграли.

Единственная трудность; генератор случайных чисел дает вам, быть может, число, содержащееся между 0 и 1 (это так в случае функции ALE языка LSE и для генератора из разд. 1.2. Имеются противоречивые сведения о языке Бейсик, возможности которого существенно меняются от машины к машине). Следовательно, нужно перейти от вещественного числа в интервале 0 : 1 к чему-либо принимающему не более двух значений, например 0 и 1. Вы сопоставляете по своему усмотрению «орла» одному из них, а «решку» — другому.

Если генератор случайных чисел действует не лучшим образом, то игра может оказаться нечестной, и одна из возможностей — «орел» или «решка» — может выпадать чаще, чем другая.

Сделайте программу, реализующую большое число испытаний, и подсчитайте число выпаданий орла.

Упражнение 4. Игральные кости.

Вместо игры в «орла» или «решку» заставьте компьютер играть в кости. Напишите программу, симулирующую большое число выбрасываний двух костей, и подсчитайте, сколько раз будет выпадать каждая комбинация от 2 до 12. Знаете ли вы, сколько раз должна выпасть каждая из них, если генератор случайных чисел идеален, а число бросаний действительно велико?

Перед вами — та же задача, что и в предыдущем упражнении: перейти от некоторого числа в интервале (0, 1) к целому числу от 1 до 6 включительно. Но если вы знаете, как сделать это для 2, то вы сможете сделать и для 6…

Игра 1. Фальшивые кости.

Ну да, такое еще бывает; есть еще такие люди, которые мошенничают и используют поддельные кости. Нужно быть в состоянии заметить это и,- как в любом хорошем вестерне, устроить грандиозную драку с мошенником.

Здесь мошенником пусть будет компьютер. Он играет одной-единственной костью и бросает ее столько раз, сколько вы требуете. Он дает вам число выпаданий единицы, двойки, …, шестерки. Вы сообщаете ему, верите ли вы, что кости поддельные, и если да, то какая грань выпадает чаще других. Компьютер отвечает вам, выиграли вы или проиграли, и случайным образом оценивает ваш выигрыш. Совершенно ясно, что если вы потребуете 40000 бросаний, то у вас будет больше шансов обнаружить истину, чем если вы потребуете 20 бросаний…

Нужно решать две задачи: компьютер должен выбрать — подделывать кости или не подделывать, и если он их подделывает, то он должен решить, какая грань будет встречаться чаще остальных.

Вспомогательная задача: выбрать функцию оценки для выигрыша.

? Игра 2. Стратегия для одной игры в кости.

Ж.-К. Бейиф [BAI] предложил игру в кости с двумя игроками. Каждый игрок в свою очередь хода бросает кость столько раз, сколько хочет. Если он не выбрасывает единицу, то он записывает за этот ход сумму выпавших за бросания этого хода очков. Если же он выбрасывает единицу, то он не записывает ничего (и его ход кончается с выбрасыванием единицы). Выигравшим считается тот, кто первым наберет (или превысит) 100 очков.

Составьте программу, которая позволит человеку играть против компьютера. Эта программа реализует бросание кости. На своем ходе она честна и не мошенничает. На вашем ходе она бросает кость и сообщает^ что выпало, а вы требуете следующего бросания, если вы хотите играть дальше.

Задача о стратегии ясна. Вы можете, например, бросать кость ровно один раз. У вас хорошие шансы увеличить свою сумму, но на небольшое число очков (от 2 до 6). Если вы делаете несколько бросаний, вы увеличиваете шанс получить большую сумму, но вы увеличиваете и риск выбросить единицу. Стратегия играющего против компьютера — это его проблема, и программа компьютера во всех этих рассмотрениях не участвует. Она играет по команде человека, он говорит, хочет ли он продолжать — под его личную ответственность.

Напротив, программа должна быть снабжена стратегией для управления игрой компьютера. Возможностей много. Выбирать следует вам.

Программирование этой .игры представляет двоякий интерес;

— нужно придумать стратегию для компьютера;

— у вас есть возможность экспериментировать. Если компьютер снабжен некоторой стратегией, то вы можете играть против него с другой стратегией и посмотреть, кто выигрывает…

Вы можете также захотеть переиграть партию с тем .же началом, что и в предыдущей партии, но вводя в вашу игру изменения, чтобы изучить последствия. Это приводит к новому понятию.

Вы научились порождать последовательности непредсказуемых чисел, или, допуская неточность речи, принятую в информатике, случайных чисел (эти последовательности совершенно не случайны; они полностью детерминированы, но, поскольку мы не можем найти простого способа перехода от данного числа к следующему и поскольку эти числа приблизительно регулярно размещены в промежутке 0 : 1, то они производят впечатление случайности). Каждое число в этой последовательности зависит только от предыдущего числа. К тому же, как и выше, вы можете получить и в самом деле непредсказуемое число, задавая компьютеру значения трех карт. Вы заставляете его вычислить значение, определенное в разд. 1.1, затем вы берете следующее за этим значением либо с помощью функции ALE или RND вашего компьютера, либо с помощью метода, описанного в разд. 1.2.

Эти последовательности случайных чисел таковы, что каждое число в последовательности зависит только от предшествующего ему и задание начального элемента последовательности полностью определяет последовательность. При отправлении из одной и той же точки два последовательно проведенных вычисления дают одинаковые последовательности. Таким образом, вы не только можете получить в играх непредсказуемые ситуации, но и воспроизвести их столько раз, сколько вам нужно. Для этого нужно, чтобы программа требовала ввести исходное значение последовательности. Я считаю удобным вывести приглашение приблизительно такого рода:

ВВЕДИТЕ ТРЕХЗНАЧНОЕ ЦЕЛОЕ

затем прочесть значение x этого целого и взять в качестве начального значения случайной последовательности число x/1000.

Исходя из генератора случайных чисел, можно легко построить последовательность целых чисел. Название функции, порождающей случайные числа, меняется от языка к языку; назовем ее

ale (x)

— это функция, сопоставляющая x, 0 ? x < 1, следующее за ним число

0 ? ale (x) < 1.

Построим теперь последовательность неотрицательных целых чисел, меньших данного числа n. У нас есть две возможности.

1. Мы порождаем последовательность случайных чисел в интервале (0, 1) и для каждого из чисел последовательности получаем соответствующее целое

x := ale (x), p = целая_часть(n * x).

Различные значения x могут давать одно и то же значение p, так что элемент, следующий за p в последовательности целых, не определяется каким-либо предсказуемым образом. Вообще говоря, данное значение p может иметь несколько последующих значений. Маловероятно, что эта последовательность окажется периодической. Это заведомо случится, если последовательность x, определяющая ее, периодична (а это бывает, хотим мы этого или не хотим).

2. Пусть p дано; тогда p/n лежит между 0 и 1. И элемент, следующий за p, можно определить формулой

p := целая_часть (n * ale (p/n)),

Здесь элемент, следующий за p, полностью определен числом p, и эта последовательность неизбежно оказывается периодической. В наиболее удачных случаях она дает n различных значений (n целых от 0 до n ? 1), после чего возвращается к уже встретившемуся в последовательности числу, и — так как каждое из чисел имеет однозначно определенное следующее за ним число — мы повторяем уже построенную часть последовательности. Но чаще всего этим способом получаются слишком короткопериодические последовательности.

?? Головоломка 1. Периодическая последовательность.

Построим последовательность целых чисел в промежутке (0, n ? 1) только что описанным способом. Предположим, что n достаточно велико (например 10000). Написать программу, определяющую период этой последовательности. Ограничение: вы не имеете права запоминать в таблице последовательные значения элементов последовательности (вы не имеете права запоминать их и в любой другой форме). Именно поэтому n предполагается достаточно большим: не может быть и речи о сохранении всех полученных значений, чтобы смотреть, встречается ли каждое новое значение среди предыдущих. Нужен другой метод. Вам предлагается обнаружить один из них…

Головоломка для маленького вундеркинда.

В прессе — как американской, так и французской — часто появляются восторженные сообщения о детях, которые обучаются работе с компьютером за несколько часов и затем объясняют своим родителям, как это делается. Разрастаются клубы по информатике, где дети пишут программы, заставляющие бледнеть профессионалов. Подающие надежды Эйнштейны информатики… Я бы никогда и не предлагал следующую головоломку, если бы не был жестоко ущемлен одним из них. Понятно, что я не скажу, ни где, ни когда.

Я находился в зале для практических занятий с детьми 15–16 лет. Преподаватель предложил им составить программу, бросающую две случайные кости и сообщающую число появлений каждой комбинации (см. упражнение 4). Маленький местный вундеркинд закончил свою довольно простую (не так ли!) программу, и преподаватель предложил ему следующую задачу:

пусть последовательно n раз выбрасывается «орел» или «решка». Сосчитать число случаев появления комбинации «орел» — «орел» — «орел», и число случаев появления комбинации «орел» — «решка» — «орел».

Мальчик очень быстро написал программу, но она не пошла. Поэтому я уселся рядом с ним и предложил ему проверить, это именно не идет. Мы вывели программу на экран. Совершенно непонятно. Плохо вложенные циклы. Поскольку ошибки были, то пришлось делать исправления вплоть до убирания одного GOTO, чтобы заменить его другим GOTO. Я сделал ему замечание, что его программа непонятна, на что он ответил, что это не имеет значения, поскольку он ее понимает. Я возразил ему, что через три месяца он сам ее не поймет: никакой реакции, это его не интересовало… Так что взаимопонимания между нами достичь не удалось. Я вижу только два возможных объяснения этого явления, в конечном счете не исключающих друг друга: многие преподаватели лицеев располагают наблюдениями такого рода.

Можно представить себе, что успешный диалог между человеком и машиной разрушительно действует на диалог между людьми. Это было бы катастрофой. Но эту столь пессимистическую гипотезу ничто реально не подкрепляет,

Гораздо более правдоподобно, что этот мальчик (как и подобные ему) встречают естественные затруднения в общении с другими людьми. Он нашел в информатике страну, в которой можно избежать такого общения и где машина принимает все, что он скажет, какова бы ни была форма и структура, лишь бы только синтаксис был соблюден. Именно поэтому феномен «информатических клубов» оказывается опасным. В рамках преподавания информатики нужно, чтобы преподаватель требовал от своих учеников анализа поставленной задачи и словесного выражения на обыденном языке результата этого анализа. Программирование может начаться только после этого. На этом уровне преподаватель заботится о качестве стиля программ, написанных по ясному плану… (Я надеюсь, что и вы работаете именно так, иначе вас нужно остерегаться.) В обстановке, когда подростков недостаточно контролируют и они находятся как бы на самообучении, они могут оказаться свободно предоставленными своим естественным склонностям. Если организованное преподавание помогало бы им учиться выражать и структурировать свои мысли, то всетерпимость к средствам выражения, свойственная машине, позволяет им оставаться в их собственном мирке, и случайные — но настоящие — успехи ошибочно убеждают их, что искать других путей не нужно. Это ли нужно подросткам, испытывающим трудности при общении?

Вернемся к нашим баранам. Если кто-то из молодых людей и обломает на этой задаче свои зубы, то это, может быть, и правда головоломка. Пора перейти к формулировке задачи.

* Головоломка 2. Последовательности «орлов» и «решек».

Осуществим n выбрасываний «орла» и «решки» с большим n (например 10000). Сколько раз встретится в ней данная комбинация из m следующих друг за другом выбрасываний (например, 10 раз «орел» или чередование из 10 выбрасываний «орла» и «решки», начиная с «орла»).

Есть много способов решить это упражнение. Они не все равноценны по времени вычисления. Я взял большое n и относительно большое m, чтобы прояснить явление. Ваша программа не должна работать долгие часы…

* Игра 3. Покер — М — С.

Я не уверен, что это следует писать. Я знаю эту игру только по услышанной мною радиопередаче какой то периферийной радиостанции (угадайте какой?). Тасуем карточную колоду. Разыгрывается некоторая сумма. Верен верхнюю карту из пачки и требуем от игрока, чтобы он угадал, является ли следующая карта младшей или старшей по отношению к только что взятой. Учитывается только число очков, а не масть карты. Валет всегда больше девяти, король больше валета, туз больше всех. Если игрок угадал правильно, сумма в игре возрастает (я не знаю точно, добавляется ли при этом некоторое фиксированное количество или сумма удваивается, но это не так уж важно. В любом случае ваш компьютер не имеет связи с распределителем банковских билетов. Жаль, быть может…). Если он не угадывает, он теряет все, В конце некоторого фиксированного числа бросаний (кажется 6; я слушал недостаточно внимательно, я прошу прощения у упомянутой станции) игрок, если он всегда оказывался прав, присваивает сумму игры.

Составьте программу, которая позволит вам быть игроком, а компьютер пусть будет всем остальным (за исключением того, что вы называете и сумму игры). На мой взгляд, хотя я могу и ошибаться, единственная трудная задача — перетасовать карты…

?** Игра 4. Лабиринт для шахматного коня.

Лабиринты являются очень высоко ценимыми головоломками. Почему не использовать компьютер и генератор случайных чисел для построения случайных лабиринтов, которые вы затем будете пытаться пройти? Но мой микрокомпьютер не имеет графических возможностей. К тому же если у вашего такие возможности есть, то я не уверен, что желание нарисовать обычный лабиринт приводит к хорошему упражнению по программированию. Внимание часто в большей мере поглощается графическими задачами, чем более фундаментальной задачей порождения лабиринта. Тем не менее, если вам так подсказывает сердце, не стесняйтесь: , стройте от случая к случаю такой лабиринт, чтобы у него был хотя бы один путь от начала к концу, и играйте с ним.

Чтобы освободиться от графических задач, рассмотрим другую форму лабиринта. Его создание составляет головоломку, а использование — игру. Пусть дана прямоугольная область, образованная n строками с p полями на каждой из них. На моем компьютере, где приходится учитывать формат экрана, числа n = 12 и p = 20 дают хорошие результаты. Занятые места считаются препятствиями (обозначенными здесь 0), пусть как-то помечены свободные места (здесь — точкой), пусть значок * обозначает всадника. Конь перемещается, как конь в шахматах: два шага в одном направлении и еще один шаг перпендикулярно предыдущему направлению. Конь может перемещаться только с одного свободного места на другое, В начальный момент он находится в правом нижнем углу. Он должен попасть в верхний левый угол (который, таким образом, тоже должен быть свободным). Число ходов игры ограничено. На рис. 1 изображен типичный пример лабиринта.

Составьте программу для компьютера для создания этого лабиринта и попытки его пройти. Так как должен существовать какой-то путь, проходящий из правого нижнего угла в правый верхний угол, то я предлагаю вам действовать следующим образом:

— возьмите случайным образом путь, связывающий эти два угла. Это — маленькая головоломка. Может быть, вы знаете задачу Эйлера о шахматном коне: составить такой путь коня по шахматной доске, чтобы он побывал на каждом поле один и только один раз. Но здесь у вас больше свободы. Тем не менее не представляется разумным проходить два раза одно и то же поле (если ваш путь будет содержать круг, то он будет предоставлять возможность для короткого замыкания, т. е. удаления этого круга). Но, может быть, это и не необходимо. Если мы много раз попадаем на одно и то же поле, то мы предоставляем много возможностей выбора, и осложняем задачу воссоздания пути. Не нужно использовать какой-либо систематический алгоритм прохода, иначе ваш лабиринт будет расшифровываться слишком быстро. Следующий за данным полем шаг на нашем пути должен выбираться случайным образом. Как тогда мы сможем быть уверены в попадании в левый верхний угол?

— получив однажды такой путь, отметьте его. Затем вы случайным образом распределяете препятствия на полях, не принадлежащих выбранному пути. Степень заполнения этих полей является параметром, который вы подберете по опыту. Если вы поставите слишком мало препятствий, ваша шахматная доска будет почти пустой, и будет много возможных путей, так что лабиринт не получится. Если же вы поставите много препятствий, то

дуть будет почти полностью определен (на рисунке препятствия занимают приблизительно 2/3 полей. Это — верхняя грань);

— когда это сделано, вы снимаете обозначения полей выбранного пути, заменяя их точками. Лабиринт готов к показу.

Остается обеспечить движение коня. Вот как действую я. Сначала я подсчитываю число полей на исходном пути, которые были выбраны случайно, и вывожу это число в качестве верхней границы числа ходов. Я свидетельствую, что всегда обнаруживался более короткий путь. Я не пытался объяснить этот экспериментальный факт…

Компьютер сообщает число оставшихся ходов и требует ваших указаний о движении. Ответ дается в виде двух букв: первая из этих букв дает направление, в котором нужно переместиться на два шага, вторая буква дает перпендикулярное предыдущему направление, в котором нужно сделать один шаг: Н — для нижней, В — для верхней, П — для правой, Л — для левой сторон. В случае на рис. 1 первое движение предписывает ЛВ — два шага влево, один вверх.

Компьютер анализирует ответ. Если превышено число ходов или ход встречает препятствие, то игрок проигрывает. Если нет — звездочка, изображающая коня, перемещается в новое положение, число оставшихся ходов уменьшается на единицу, и игра продолжается.

Игра 5. Спящая красавица.

Краткое содержание предыдущих эпизодов. Доктор Жабуэ не убил великолепную Жюли, он только приостановил жизненные процессы. Ее мог бы разбудить надлежащий лицевой массаж, но это его не беспокоит, впереди еще много времени. Из замка вывезено все, что имело хоть какую-то ценность: обстановка, картины, произведения искусства… Молодой повеса обнаруживает пустой замок и находит, что он должен быть замечательным треком для мотогонок…

13-й эпизод.

Рыжий Тони входит в темную комнату. Несмотря на грохот мотоцикла, отчетливо воспринимается равномерный храп. Он зажигает фару и обнаруживает безмятежно спящую прекрасную Жюли. Ослепленный ее красотой, он приближается к ней и гладит ее по лицу. Ничего больше и не нужно. Жюли внезапно просыпается и, приходя в сознание с удивительной быстротой, восклицает: «Бежим отсюда скорее, в замке западня, все сейчас взорвется». Тони садится на мотоцикл. Жюли вскакивает на сиденье за Тони и пристегивается к нему. Но уже повсюду гремят взрывы, и огонь охватывает деревянный потолок. Тони мчится зигзагами среди обломков. Обрушиваются куски горящих балок, угрожая раздавить их в любой момент.

Удастся ли им выбраться из замка? Продолжение в следующем эпизоде.

Эта игра является вариантом предыдущей. Вы представляете замок тем же самым прямоугольным пространством, где точки обозначают свободные места, нули — препятствия, а звездочка сообщает местоположение Тони, В начале игры Тони находится в правом нижнем углу, а выход находится в левом верхнем углу. Препятствий вначале крайне мало. После каждого хода Тони компьютер случайным образом формирует новые препятствия и размещает их на игровом поле. Если Тони оказывается на месте одного из них, то он раздавлен и для него все кончено…

Чтобы оставить Тони хоть какой-то шанс, я предпочитаю устанавливать препятствия парами — поочередно вертикальными и горизонтальными. После небольшого наблюдения можно заметить, что движение большей частью идет в тесных коридорах, куда препятствия не могут попасть (нужно по крайней мере два смежных свободных поля, чтобы там могло разместиться препятствие).

Если не принимать мер предосторожности, то препятствия могут полностью загородить путь к выходу. Может быть, предпочтительнее условиться, чтобы хоть какой-то путь оставался свободным. Каким образом — на ваше усмотрение. В своей первой версии такой программы я этого не сделал. Чаще всего выход оказывался блокированным и игра могла быть выиграна лишь в исключительных случаях.

Есть много примеров арифметических игр, головоломок и развлечений. Их можно найти в [BAL], [BER], [KUE]. Мы обращаемся и к другим источникам и добавляем некоторые задачи, которые представляют интерес собственно с точки зрения программирования. Многие арифметические головоломки можно сделать вручную: для чего составлять программу? Очень часто вам нужно сделать часть работы на руках, а машина сделает остальное. Это вы должны правильно распределить работу, иначе время вычисления может оказаться чрезмерным. Строгих правил здесь нет. Одна и та же задача может иметь много решений, и методы решения одной и той же задачи могут быть различными. Это и создает игровую ситуацию.

Группировка различных головоломок по темам более или менее условна. Начнем с наиболее простых задач.

ДЛЯ РАЗМИНКИ.

Головоломка 3. Вращающееся число.

Найти такое число, оканчивающееся на 5, что, умножая его на 5, мы получим новое число, полученное из предыдущего вычеркиванием цифры 5 на конце и приписыванием ее в начале.

Это легко…

Та же задача с заменой 5 на 2.

Можно ли заменить здесь 5 какой-нибудь цифрой, отличной от 0?

** Головоломка 4. Квадратный корень.

Извлечь целый квадратный корень с недостатком из очень длинного целого числа (намного более длинного, чем наибольшее целое, которое воспринимается вашим компьютером, например, содержащего 50 или 100 значащих цифр),

Вот две известные в информатике головоломки. Сожалею, что обманываю ожидания своих коллег, которые не найдут здесь ничего нового…

?* Головоломка 5. Последовательность Хэмминга.

Рассмотрим числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Расположим их в возрастающем порядке. Это и есть последовательность Хэмминга. Вот ее начало:

2 3 4 5 6 8 10 12 15 16 18 20 24 25 27 30 32 36 40 45 48 50…

Составьте программу, выписывающую n первых членов этой последовательности для большого n. Внимание: вы должны порождать последовательность Хэмминга в порядке возрастания ее членов. Нетрудно, например, взять степени тройки и разместить их в последовательность. Вы же образуйте последовательность от номера 1 до номера i ? 1, а затем вычислите и поставьте на место элемент, последовательности с номером i. В этом-то и головоломка…

?** Головоломка 6. Счастливые числа.

Унтер-офицер собирает своих людей, чтобы решить, кого отправить в наряд на картошку.

«Постройтесь гуськом и рассчитайтесь, начиная с 2». Первый из стоящих говорит 2, следующий — 3, следующий — 4 и т. д.

«Первый в ряду, выйди из строя. Ты освобожден от наряда. Какой у тебя номер?»

«Второй», — отвечает солдат.

«Начиная со второго, рассчитаться по два; тем, кому не выпадет 2, выйти из строя; они пойдут в наряд».

И процесс возобновляется. Первый из вышедших из строя имеет номер 3, и он счастлив: он освобожден от наряда. Теперь рассчитываются по трое, начиная с 3 — с того, кто первым вышел из строя за нарядом…

Составьте программу, выписывающую n первых счастливых чисел для большого n (100, даже 500), Внимание: в чем состоит головоломка: каждый член последовательности должен вычисляться, исходя из данных значений предыдущих счастливых чисел. У вас есть i первых, вычислите следующее. В таблице-то легко вычеркивать… Вот первые счастливые числа:

2 3 5 7 11 13 17 23 25 29

Счастливые числа — не обязательно простыв, а простые числа — не обязательно счастливые…

??? Головоломка 7. Дьявольская последовательность.

Марк Твен описал в своих рассказах жуткую историю. Человек прочел глупые стихи вроде

Кондуктор, отправляясь в путь,
Не рви билеты как-нибудь,
Стриги как можно осторожней.
Чтоб видел пассажир дорожный:

Синий стоит восемь центов,
Желтый стоит девять центов,
Красный стоит только три.
Осторожней режь, смотри!

Припев:
Режьте, братцы, режьте! Режьте осторожно!
Режьте, чтобы видел пассажир дорожный!

(Я цитирую по памяти, но дух соблюден.) Он был порабощен ритмом этих стихов, что стало настоящим наваждением. Если он начинал писать, его перо выводило «Режьте, братцы, режьте». Если он встречал кого-нибудь, он не здоровался с ним, а говорил «Режьте, братцы».

Он пробовал управлять собой, но это подрывало его здоровье. Он решил обратиться к своему священнику и объяснить ему, в чем дело, и читал ему это маленькое стихотворение, подчеркивая его ритм, пока пастор не выучил его наизусть. Ушел он исцеленный.

Но в воскресенье пастор начал проповедь словами «Режьте, братцы, режьте». Что бы ни было в гимне, который он запевал, слова были одни — «Режьте, братцы, режьте…» Его жизнь стала адом. Он не мог исцелиться, пока в один прекрасный день ему не удалось злодейски обучить этому стихотворению одного профессора университета…

Нижеследующее и есть «режьте, братцы, режьте». Оно преследует меня долгие годы. Я потерял массу времени на размышления о нем без сколько-нибудь значительного успеха. Но ничто меня не занимает в большей степени. Моя единственная надежда освободиться от него — это то, что вы им заинтересуетесь…

Последовательность определяется следующим образом: первый член этой последовательности есть произвольное нечетное число, отличное от единицы. Следующее за числом p равно

p/2, если p четно,

Зp + 1, если p нечетно.

Последовательность заканчивается, когда в ней встречается значение 1.

Вот последовательность, которую мы получим, исходя из 7:

7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

Нет никакой надежды, что вам удастся доказать, что для любого нечетного числа в качестве начального значения последовательность достигает единицы.

Но в высшей степени увлекательно составить эту крошечную программу и посмотреть, как она работает. Испытайте число 27 в качестве начального значения: вы получите очень длинную последовательность, среди элементов которой есть 9232. Если вы изучите ряды чисел, получаемые для начальных значений, взятых среди нечетных целых от 3 до 99, вы получите довольно много патологических последовательностей, не всегда сильно отличающихся. Все это очень смущает. Ни один специалист по теории чисел еще не смог Доказать, что такая последовательность принимает значение 1 для любого начального значения. Не больше известно и о том, почему некоторые из этих последовательностей — короткие, а другие — слишком длинные…

Эта программа замечательно иллюстрирует то, что называется «проблемой остановки». Существуют простейшие программы, относительно которых нет уверенности, что они остановятся…

Теперь, когда вы уже познакомились с этой последовательностью, получите предмет головоломки. Заметим сначала, что если p нечетно, то мы переходим к Зp + 1 — числу, отличному от 1. Очевидно, что непосредственно предшествующий шаг есть деление на 2. Поэтому можно изменить правило построения последовательности описанным ниже образом: следующее за числом p равно

p/2, если p четно,

(Зp + 1)/2, если p нечетно,

Это вычеркивает некоторые члены предыдущей последовательности, не меняя проблемы остановки:

7 11 17 26 13 90 10 5 8 4 2 1

Вы можете пойти еще дальше в том же направлении, объединяя вместе все последовательные шаги, действующие по правилу (Зp + 1)/2, и все следующие за ними шаги, состоящие в делении на два. Вы получите два новых правила перехода, гораздо более уплотненные. Свяжите их и пустите в ход. Для числа 7 вы должны без задержки получить последовательность

7 13 5 1

Это позволяет рассматривать обобщения задачи. Пусть k — нечетное число. Возьмем в качестве правил перехода следующие:

p/2, если p четно,

k * p + k ? 2, если p нечетно.

Возможно уплотнение, аналогичное предыдущему. Для k = 5 следующее за числом 3 есть 3, и существуют исходные точки, для которых программа не останавливается. Для k = 7 она идет точно так же. Так что проблема остановки связана со свойством числа k. Я бы здесь… Впрочем, мало ли чего я хочу!

Это — класс самых разнообразных задач. Задаются точные арифметические операции, в которых некоторые цифры либо стерты, либо заменены буквами. В данной операции одна и та же буква всегда заменяет одну и ту же цифру, и разные буквы представляют поэтому разные цифры. Нужно восстановить исходную операцию. Есть случаи, в которых это сводится к решению системы уравнений с неизвестными, представляющими собой букву, — системы, решение которой дает также решение исходной задачи. Компьютер не видит ничего скрытного. Таким образом, если что-то не так, то нужно действовать систематически методом проб и ошибок. Нужно выбрать значения для одних букв и получить с их помощью значения остальных. Нужно проверить, что разным буквам соответствуют разные значения. После конечного числа попыток мы получим решение — если оно единственно — или список всех возможных решений. А еще существуют промежуточные решения: вычисление ограничивает число осуществляемых попыток.

Головоломка 8. SEND MORE MONEY.[4]

Это — лаконичная телеграмма английского студента своему отцу. История умалчивает о том, как отец это принял и были ли отправлены деньги…

SEND + MORE = MONEY

Программа очень легкая. Время вычисления короткое. Едва ли это головоломка. Как раз для тренировки…

Головоломка 9. HELP THE YOUNG.[5]

Конечно, конечно. Почему бы не послать им еще денег? Та же задача:

HELP + THE = YOUNG

Отметим разницу с предыдущей задачей. Предыдущая использовала не все цифры от 0 до 9. В этой участвуют все. Можете ли вы воспользоваться этим?

DEVOIR, LECON, ELEVE.[6]

Есть аналогичные зашифрованные сложения по-французски. Например, такая:

ELEVE + LECON = DEVOIR

? Головоломка 10. Зашифрованное умножение.

Довольно сложений, это становится скучным. Вот зашифрованное умножение:

ABCDE * 9 = FGHIJ

Здесь 10 букв представляют 10 различных цифр, так что одна из них равна 9. Можно сразу кое-что сказать о возможных значениях букв, но чтобы получить решение, придется идти буквально ощупью. Столько же придется искать и компьютеру.

?* Головоломка 11. Забавное число.

Число 123456789 обладает забавными свойствами:

123456789 * 2 = 246913578

Как и исходное, удвоенное число образовано всеми девятью цифрами, кроме 0.

123456789 * 4 = 493827156

Результат снова образован девятью цифрами, отличными от 0.

123456789 * 5 = 617283945

По-прежнему 9 цифр.

123456789 * 7 = 864197523

Опять 9 цифр, и это еще не все.

123456789 * 8 = 987654312

Но это не работает ни для 3, ни для 6. Это не может работать и для 9, потому что в результате больше 9 цифр,

Тем не менее есть много чисел, образованных всеми 9 цифрами (кроме 0), которые после умножения на 3 дают результат, образованный теми же девятью цифрами. Можете ли вы дать список всех таких чисел, оканчивающихся на 9? И также список тех, которые кончаются на 3?

Можно ли распространить использованный метод на случай умножения на 6?

Компьютер можно использовать для доказательства теорем. Это — трудная задача искусственного интеллекта. Мы снабжаем компьютер правилами вывода, даем формулировку того, что требуется доказать, и исходные аксиомы. Компьютер пытается найти последовательность правил вывода, которые могут привести от исходных данных к требуемым рёзультатам.

Здесь обо всем этом речь не идет. Я предлагаю вам только взглянуть на путь, использованный для доказательства с помощью компьютера знаменитой проблемы четырех красок: любая географическая карта может быть раскрашена четырьмя красками так, что любые две территории, имеющие общую границу, раскрашены, разными красками. Общая идея состоит в том, чтобы доказать вручную или, в случае необходимости, с помощью программы, что проблема будет решена полностью, если будет известно ее решение в некотором конечном числе случаев. Эти случаи исследуются на компьютере. Вот примеры, доступные этому методу.

Внимание: вы должны бороться с проблемой сложности. Если вы не будете принимать никаких мер предосторожности, число подлежащих исследованию случаев может сказаться невероятно большим и работа компьютера станет невозможной: ведь перед вами не вечность… Равновесие между подготовительной работой (доказательством палых теорем) и работой компьютера оценивается в зависимости от ваших возможностей, одновременно в области математических доказательств и в ресурсах вашего микрокомпьютера. К сожалению, не говорите: эта программа отнимает уйму времени, я перепишу ее на ассемблере. Это — худшее из решений. Все, что я вам предлагаю, осуществимо на Бейсике за разумное время. Если ваша программа требует уйму времени, значит, она плохо придумана.

Головоломка 12. Теорема 153.

Этот пример заимствован из [MJB]. Образуем числовую последовательность следующим образом:

— начальный элемент — произвольное натуральное число, кратное трем,

— за любым элементом последовательности следует число, равное сумме кубов всех цифр данного элемента.

Теорема. Любая такая последовательность становится (начиная с некоторого места) постоянной, равной 153.

Пример. Начнем с 33:

33

3? + 3? = 54

5? + 4? = 189

1? + 8? + 9? = 1242

1? + 2? + 4? + 2? = 81

8? + 1? = 153

1? + 5? + З? = 153

1? + 5? + З? = 153

и теперь последовательность стала постоянной.

Используйте ваш компьютер для доказательства этой теоремы.

? Головоломка 13. Варианты.

Нелегко сказать, какую роль в предыдущей теореме играет то, что исходное число кратно трем. Но от вас не потребует чрезмерных усилий в общем случае, что два последовательных числа последовательности имеют равные остатки при делении их на 3. В последовательностях, которые мы стали изучать, все члены последовательности делятся на 3. Можно доказать также, что все члены последовательности, кроме, быть может, первого, делятся на 9.

Если взять натуральное число, не кратное трем, то все члены соответствующей последовательности будут иметь один и тот же остаток при делении на 3. Что, кроме этого, вы можете узнать о поведении этих последовательностей?

Если при переходе к следующему члену последовательности вы будете брать сумму квадратов цифр (вместо того, чтобы брать сумму кубов), то все будет не намного лучше. Можете ли вы доказать следующую теорему: каково бы ни было натуральное число, взятое в качестве первого элемента последовательности, эта последовательность содержит число, не превосходящее 4?

? Головоломка 14. Теорема 6174. Построим последовательность натуральных чисел следующим образом. Начальный элемент — натуральное число с четырьмя цифрами, которые не все равны между собой. Мы переходим от данного члена последовательности к следующему но такому правилу.

Пусть a, b, c, d — четыре цифры, представляющие десятичную запись данного числа. Расположим их в порядке убывания слева направо и получим первое число. Расположим их в обратном порядке и вычтем это второе числа из первого. Это и есть искомый следующий член последовательности.

Теорема. Эта последовательность для любого начального элемента становится (начиная с некоторого места) постоянной, равной 6174.

Пример. Начнем с 7815:

8751 ? 1578 = 7173

7731 ? 1377 = 6354

6543 ? 3456 = 3087

8730 ? 0378 = 8352

8532 ? 2385 = 6174

6174 ? 1467 = 6174

Используйте ваш компьютер для доказательства этой теоремы. Это окажется намного проще, чем в предыдущей головоломке, поскольку имеется всего лишь 9000 чисел с четырьмя цифрами, и нужно исследовать 9000 последовательностей. Но вы можете сделать число испытаний намного меньше этого…

?? Головоломка 15. Господин S и господин P[7].

Вот одна из наиболее классических арифметических головоломок. Выберем два натуральных числа, больших единицы, но меньших ста. Значение их суммы сообщено господину S, значение их произведения — господину P. Ни один из них не знает, какое число сообщено другому. Господин P звонит господину S по телефону.

P. Я не могу найти эти два числа.

S. Я знаю, что вам это и не удалось бы.

P. Ах, так… Но тогда я их знаю!

S. Ну, тогда и я тоже их знаю!

Рассуждение позволяет существенно видоизменить задачу, и даже более того — предъявить решение. Много ли их? Используйте ваш компьютер, чтобы их найти.

??** Головоломка 16. Чемпион головоломок.

На мой взгляд, наиболее замечательная арифметическая головоломка, над которой мне пришлось особенно долго работать и которая дала мне возможность получить некоторые удовлетворительные результаты, — это, конечно, проблема простых чисел. Пусть дано число n (конечно, нечетное) и достаточно большое; сказать, является ли оно простым и, если можно, дать его разложение на простые множители.

Если не предполагать, что n велико, то есть простой способ действовать: делить n на простые числа и смотреть, удается ли деление без остатка. Если да, то число составное и допускает разложение в произведение. Впрочем, при таком методе многие делители можно вообще не рассматривать. Если n есть произведение двух сомножителей p и q:

n = p * q,

то либо p = q, либо один из сомножителей больше другого, так что можно считать, что p — делитель, q — частное и p ? q. Поэтому будем делить n на последовательно возрастающие простые числа, для которых частное больше или равно делителю. Так как мы не располагаем таблицей простых чисел, то используем последовательность Делителей, которая заведомо содержит все простые числа, например, последовательность нечетных чисел или лучше целых чисел вида 6k ± 1.

Число операций растет как квадратный корень из n. Если вы добавите к n одну цифру, то вы увеличите время вычисления примерно раза в три. Но более важно другое. Если вы увеличиваете n, вы можете превысить «арифметические способности» своего компьютера. Как вы узнаете, правильно ли выполнено деление? Предел, которого вы можете достичь таким образом, существенно зависит от марки вашего микрокомпьютера[8].

Таким образом, вы должны бороться со следующими трудностями:

— точность вашего компьютера. Вам нужно иметь возможность делать вычисления с повышенной точностью, а это очень дорогостояще по времени;

— число требуемых операций;

— доверие к вашей программе. Если ваша машина сообщает вам, что

9873564383 = 631181 * 15643,

то вы, вероятно, сможете проверить этот результат на вашем микрокалькуляторе, А если компьютер сообщит вам, что 9873564401 — простое число, то как вы это проверите? Проделав вычисления на руках?

Вот основы метода Ж.-М. Полларда [POL].

По данному числу n (нечетному натуральному) строится последовательность по описанному ниже правилу:

— первый член последовательности равен 2;

— следующий за x элемент равен x? ? 1 по модулю n (остатку от деления x? ? 1 на n).

Оказывается, что эта последовательность периодична. Это легко видеть. Остаток от деления на n есть неотрицательное целое, меньшее n, поэтому не может быть более n различных остатков. Поэтому неизбежно, что как только число членов превысит n, среди членов последовательности мы получим два одинаковых, что и означает периодичность последовательности. Но она может оказаться периодической с намного более коротким периодом, чем n. Вот, например, последовательность для n = 137:

a₁ = 2

a₂ = 3

a₃ = 8

a₄ = 63

a₅ = 132

a₆ = 24

a₇ = 27

a₈ = 43

a₉ = 67

a₁₀ = 104

a₁₁ = 129

a₁₂ = 63 = a₄

Последовательность периодична с периодом 8.

Пусть дана последовательность, вычисленная для некоторого n. Предположим, что n делится на s, и что соответствующая числу s последовательность периодична с периодом p.

Для достаточно большого i имеем a_i+p = a_i по модулю p, следовательно, a_i+p ? a_i делится на p. Так как, кроме того, и n делится на p, то наибольший общий делитель (НОД) чисел a_i+p ? a_i и n отличен от 1[9].

Построим последовательность Полларда для n = 22879:

a₁ = 2

a₂ = 3

a₃ = 8

a₄ = 63

a₅ = 3968

a₆ = 4271

a₇ = 6877

a₈ = 2235

a₉ = 7602

a₁₀ = 20928

a₁₁ = 8486

a₁₂ = 11982

НОД чисел a₁₂ ? a₄ и n = 22879 есть 137, делитель числа n.

Если мы способны сказать, становится ли данная последовательность периодической (головоломка 1), то мы располагаем быстрым методом определения, имеет ли данное число делитель. Можете играть. Это не такая уж простая программа…

Есть тест на простоту числа, основанный на так называемой малой теореме Ферма: если n — простое, причем число n не является делителем a, то

a^n?1 = 1 по модулю n.

Представим n в виде n = 2^sm + 1. Назовем число n сильно псевдопростым по основанию a, если выполнено одно из следующих двух условий:

либо a^m = 1 по модулю n,

либо a^m2r = n ? 1 по модулю n = 2^sm + 1 для некоторого r, 0 ? r < s.

Очень мало сильно псевдопростых чисел, не являющихся простыми; так

2047 = 23 * 89 — сильно псевдопросто по основанию 2,

1373653 = 829 * 1657 — по основанию 2 и 3,

25326001 = 2251 * 11251 — по основанию 2, 3 и 5,

3215031751 = 151 * 751 * 28351 — по основанию 2, 3, 5 и 7.

Метод интересен, потому что aⁿ вычисляется за время, растущее не быстрее, чем ln n. Это утверждение вытекает из соотношений:

а⁰ = 1, а¹ = а,

a²ⁿ = (а * а)ⁿ, a²ⁿ⁺¹ = (a * a)ⁿ * а.

Все, что нужно для работы, у вас есть. Больше делать нечего, кроме собственно составления программы.

Кстати: знаете ли вы две универсальные конструкции в информатике? Первая — «известно, что…». Вторая — «это и нужно сделать…».

Я надеялся не приводить в этой книге никаких готовых программ. Программирую не я, а вы. И я не очень люблю смотреть, как подростки копируют программу, набирая ее на клавиатуре и при этом не отдавая себе отчета в том, что она делает и как устроена. Но сказать, что делает та или иная программа, может оказаться настоящей головоломкой, Программы, которые мы будем обсуждать, написаны на некотором воображаемом языке[10]. Вам придется по крайней мере сделать усилие, чтобы перевести их на ваш обычный язык: Бейсик, LSE или Паскаль. Условная команда записывается в виде

ЕСЛИ условие ТО последовательность команд

КОНЕЦ_ЕСЛИ

(последовательность команд выполняется тогда и только тогда, когда условие истинно)

или

ЕСЛИ условие ТО последовательность команд

  ИНАЧЕ последовательность команд

КОНЕЦ_ЕСЛИ

(если условие истинно, то выполняется последовательность команд, заключенная между ТО и ИНАЧЕ, в противном случае выполняется та последовательность команд, которая расположена между ИНАЧЕ и КОНЕЦ_ЕСЛИ).

В обоих случаях КОНЕЦ_ЕСЛИ играет роль закрывающей скобки, связанной с открывающей скобкой ЕСЛИ. Мы будем использовать цикл

ПОКА условие ВЫПОЛНЯТЬ

  последовательность команд

ВЕРНУТЬСЯ

Последовательность команд, содержащаяся между ВЫПОЛНЯТЬ и ВЕРНУТЬСЯ, повторяется, ПОКА условие истинно.

* Головоломка 17. Для забавы. Вот легко понимаемая программа. Здесь n и b — два натуральных числа и b нечетно (это существенно)

ПРОЧЕСТЬ n, b

ПОКА n > b ВЫПОЛНЯТЬ

  ЕСЛИ n четно ТО n := n/2

  ИНАЧЕ n := n ? b

  КОНЕЦ_ЕСЛИ

ВЕРНУТЬСЯ

СООБЩИТЬ ЕСЛИ n = 0 ТО 'ДА'

ИНАЧЕ 'НЕТ' КОНЕЦ_ЕСЛИ

Вы можете попробовать выполнить ее вручную для

n = 2⁷⁷ ? 3, b = 7.

Забавно, не правда ли? Несмотря на свою исключительную» простоту, эта программа, кажется, новая…

*** Головоломка 18. Посерьезнее. Эта — несомненно более трудная. И тоже неопубликованная. Боюсь, что вы можете избаловаться… На вход программы подается n — нечетное натуральное число.

ПРОЧЕСТЬ n

q := (n ? 1)/4; p := целая_часть (q)

ЕСЛИ q ? p ТО СООБЩИТЬ 'НЕТ';

КОНЕЦ_РАБОТЫ КОНЕЦ ЕСЛИ

ЕСЛИ нечетное p ТО СООБЩИТЬ 'НЕТ';

КОНЕЦ_РАБОТЫ КОНЕЦ_ЕСЛИ

a := 4; b := 1

ПОКА p ? a ВЫПОЛНЯТЬ

p := p/2

ЕСЛИ нечетное p ТО p := p ? a/2 ? b;

b := a ? b КОНЕЦ ЕСЛИ a := a + a ВЕРНУТЬСЯ

ЕСЛИ p = 0 ТО СООБЩИТЬ b;

КОНЕЦ РАБОТЫ КОНЕЦ_ЕСЛИ

ЕСЛИ p + 2*b = a ТО СООБЩИТЬ a ? b;

КОНЕЦ РАБОТЫ КОНЕЦ_ЕСЛИ

ЕСЛИ p = 4 * (a ? b) ТО СООБЩИТЬ 2 * a ? b;

КОНЕЦ РАБОТЫ КОНЕЦ_ЕСЛИ

СООБЩИТЬ 'НЕТ'; КОНЕЦ_РАБОТЫ

Я не запрещаю вам перевести эту программу на ваш любимый язык, а затем испытать ее для различных значений n. Есть маленький шанс, что вы угадаете, на что она способна. Это не очевидно!

** Головоломка 19. Вклад Жака Гебенстрейта. Я обязан Жаку Гебенстрейту следующей программой. Она была предложена в том виде, в каком я ее привожу, без какого-либо комментария (это было сделано без злого умысла с его стороны: сам он получил не больше от того, кто дал ему эту программу).

ПРОЧЕСТЬ a, b; p : = max (a, b); q := min (a, b)

ПОКА q > eps ВЫПОЛНЯТЬ

  r := (q/p)?; s := r/(r + 4)

  p := (2 * s + 1) * p; q := s * q

ВЕРНУТЬСЯ

результат := p

Как вам кажется, что вычисляет эта программа?

Мы собираемся предложить здесь игры для программирования. Мы выбрали их потому, что они не требуют придумывания выигрывающей стратегии при составлении программы. Каждая игра ставит вас перед, вообще говоря, непредсказуемой ситуацией. Вы должны играть, соблюдая правила и имея в виду добиться определенной цели. Вам следовало бы развить собственную стратегию. После того, как вы предложили свой ход, компьютер сообщает новое состояние игры, затем изменяет это состояние некоторым почти полностью определенным образом. Ваша стратегия должна оценить, как именно.

Программирование этих игр не представляет заметных трудностей. Это — не головоломка (если исключить лабиринт для коня, который представляет настоящую трудность). Но нужно работать очень тщательно, чтобы компьютер соблюдал правила и не жульничал. Ошибки программирования всегда достойны осуждения. Здесь может возникнуть. искушение сделать все быстро, потому что в конце концов всегда что-то получится. Тщательно изучите задачу, продумайте прежде чем писать, составьте план вашей программы, разберите подзадачи отдельно…

Игра 6. Гениальный ответчик.

Я не думаю, что есть еще хоть кто-нибудь, кто не знает игру, которую М. Мейрович назвал «гениальный ответчик»[11]. Обычно она играется с цветными шашками (6 и 8 различных цветов в зависимости от изготовления). Играющий должен угадать сделанную из этих шашек тайную комбинацию. Так, в варианте «мини» вы должны угадать комбинацию из четырех шашек, например: ГОЛУБАЯ ЖЕЛТАЯ ЖЕЛТАЯ КРАСНАЯ (в этом порядке). Второй игрок — ведущий. Это он выбирает комбинацию для угадывания и он оценивает ходы, которые вы делаете. Ваш ход в игре состоит в том, что вы предлагаете комбинацию, содержащую то же число шашек, из того же набора цветов, например, КРАСНАЯ ГОЛУБАЯ ЖЕЛТАЯ ГОЛУБАЯ.

Ведущий сообщает вам, сколько шашек из вашей комбинации содержат правильный цвет на правильном месте: здесь — 1, третья шашка ЖЕЛТАЯ, как и в неизвестной вам комбинации. Затем он сообщает вам, сколько шашек имеют правильный цвет, но стоят на неправильных местах. Здесь 1, так как вы предложили красную шашку, но она на неверном месте. Согласно традиции, ведущий выставляет столько черных шашек, сколько в вашем ответе шашек правильного цвета на правильном месте, а затем столько белых шашек, сколько шашек правильного цвета на неверных местах.

Составьте программу, заставляющую ваш компьютер играть роль ведущего. Он должен случайным образом выбирать комбинацию и, конечно, не сообщать ее. Когда вы предлагаете свою комбинацию, компьютер должен также сообщить вам, сколько черных и белых шашек она заслуживает. Если в конце обусловленного заранее числа попыток вы не достигли результата, компьютер вас не поздравит, но сообщит загаданную комбинацию.

Введите в вашу программу параметры по числу цветов и числу шашек в комбинации, как и по степени сложности:

простая: 4 шашки, 6 цветов, 6 попыток;

средняя: 6 шашек, 8 цветов, 8 попыток.

Особой трудности нет. Игра заведомо приятна. Отладьте диалог…

Игра 7. Пляж Ботафого.

Несколько лет назад я отправился вести курс в Понтификальном университете Рио-де-Жанейро. Часть моей семьи смогла присоединиться ко мне на несколько дней. Мы отправились посмотреть на знаменитую «Сахарную голову», расположенную вблизи Ботафого. Мы прибыли на место. В нескольких стах метров перед нами «Сахарная голова» на берегу маленькой бухты открывала весьма привлекательный пляж. Чтобы его достичь, мы должны были преодолеть одно препятствие: автостраду. Нам очень хотелось отправиться на пляж и насладиться морем (мы еще не знали, насколько оно может быть загрязнено!). Но очевидным образом не было никаких средств пересечь эту автостраду. Ни один переход не пересекал ее поверху, это мы видели. Не было поблизости и подземных переходов. Мы не говорили по-бразильски (он произошел от португальского, но он отошел от языка, на котором говорят в Лиссабоне, так же сильно, как язык Квебека отличается от французского в Париже). Наконец, мы попытались что-нибудь понять с помощью моего приблизительного английского. «Чтобы попасть туда? Пересеките автостраду…» Это не было многообещающим развлечением. Движение было интенсивным. Бразильцы водят машины на большой скорости. Не слушая ничего, кроме зова нашей отвагу мы успешно достигли покрытой дерном полосы, разделяющей два направления автострады, и впали в глубокое уныние. Никогда нам не добраться до цели! Но отступать было некуда. Либо в одном, либо в другом направлении, но дорогу нужно было пересечь. Я не знаю, каким образом нам удалось ее перейти. И вот, после того, как мы решили, что пробил наш последний час, мы вылезли из моря на пляж Ботафого и — обнаружили в ста метрах подземный переход, позволявший безопасно перейти дорогу. Когда я позже рассказывал эти злоключения одному из своих коллег, он заявил мне, что вообще молодые люди не имеют привычки пользоваться ни подземными, ни нажимными переходами, они бросаются прямо под автомобили безо всякой боязни. Он рассказал мне также, что после торжественного открытия надземного перехода, который пересекал ту же автостраду немного выше Фламенко, в одном журнале был опубликован юмористический рисунок. На нем была изображена мать семейства, катящая детскую коляску и тянущая другой рукой ребенка, чтобы перейти пешком автотрассу у надземного перехода, говоря «Какой удобный переход! Наконец-то мы сможем переходить дорогу в тенечке…»

Все это навело меня на вот какую игру. На экран выводится рисунок, символизирующий автостраду с n полосами движения. По каждой полосе движутся автомобили, В начале игры вы находитесь на краю автострады. Вы можете либо оставаться там, где вы есть, либо прыгнуть на шаг вперед. Автомобили перемещаются согласно неизвестному закону. Если один из них достигает занимаемого вами положения или проходит по нему, то вы раздавлены. А если нет, то ваш ход. Вы снова можете либо остаться неподвижным, либо продвинуться на шаг вперед, либо вернуться на шаг назад, и цикл возобновляется. Вы выигрываете, если вы достигаете другой стороны дороги, не будучи раздавленным.

Вот несколько предложений по реализации игры. Я представляю автостраду следующим образом.

Расстояние между машинами постоянно, В верхней полосе оно равно 18 (17 точек между двумя машинами) и возрастает на 1 в каждой следующей полосе (24 точки между двумя стрелками в нижней полосе). Стрелки представляют машины острием в направлении их перемещения. Тире указывают место вашего перехода, но это отнюдь не переход «зебра»: ни одна машина не замедлит хода, чтобы дать вам перейти! В начале игры вы находитесь вне автострады, как на рис. 2.

Скорость машин постоянна. В верхней полосе я выбрал 5: любое перемещение машин продвигает их на 5 точек влево. В результате одна из машин может уйти влево или справа может появиться новое транспортное средство, если интервал вправо увеличится более чем на 17 точек до края: расстояние между машинами поддерживается постоянным. Я решил сделать скорость машин растущей на 1 точку при каждой смене полосы: она равна 6 во второй полосе, 7 — в третьей…

Таким образом, расстояние между машинами растет, скорость тоже, но отношение не постоянно. Если вы вступаете на первую полосу в тот момент, когда машина только что проехала тире, то у вас 16 точек до машины справа от вас. При скорости 5 точек вы можете оставаться неподвижным три хода. На нижней полосе у вас осталось бы справа 23 точки, но при скорости 12 вы не можете оставаться на месте более одного хода. Чем дальше вы продвигаетесь, тем больше риск, что вы будете раздавлены.

При таком выборе данных период рисунка очень велик. У вас нет никакой возможности получить по ходу партии дважды одну и ту же конфигурацию.

Единственный случайный элемент: начальное положение машин на каждой полосе. Вы задаете это начальное положение, выбирая число точек между тире и первой машиной справа от тире; это — целое число, выбираемое случайно, строго меньше расстояния между машинами на данной полосе. Таким образом, для 8 полос нужно случайным образом получить 8 чисел, Используя воспроизводимую непредсказуемость последовательности, как это описано в разд. 1, вы можете переиграть партию, если сочтете, что плохо использовали ваши возможности. Вы можете провести соревнования со своими друзьями. В моей программе я подсчитываю число шагов, потребовавшихся для перехода дороги. Выигрывает тот, кто переходит с наименьшим числом шагов.

Не говорите: идиотская игра, придуманная в дурацком мозгу… Прежде всего это невежливо по отношению ко мне. Кроме того, в ней нужно иметь некоторый опыт, чтобы дать себе отчет в том, насколько трудно играть оптимальным образом. Благодаря изображению точек, вы можете — если захотите — проводить свои подсчеты и узнавать, каким будет положение машин после следующего хода. Вы можете предвидеть или вычислять столько ходов от начала, сколько вы пожелаете: игра вашего противника полностью определена. Но опыт показывает, что это скучно. Ходы лучше делать, оценивая положение машин перед следующим ходом. Может получиться, что вы говорите себе: у меня есть время пройти, а он возьмет дай раздавит. Может случиться, что вы не берете на себя риск пойти вперед, а машина останавливается в точности перед тире.

Точно так же может случиться, что вы правильно оцениваете ситуацию, но вам не удается достаточно точно рассчитать начальные ходы, и вы попадаете в ловушку. Вы оказываетесь на некоторой полосе и не раздавленным. Но нельзя ничего не делать: если оставаться на месте, то вас раздавят. Нельзя вернуться — там, на предыдущей полосе, машина слишком близко к тире. Нельзя идти и вперед: на следующей полосе машина стоит перед тире или слишком близко к тире.

Вот еще несколько предложений. Необходимо держать рисунок на экране неподвижным: только стрелки машин и крестик (?) пешехода должны перемещаться по неподвижному полю. Чтобы передвинуть пешехода, я предлагаю следовать очень простому правилу. На вопрос компьютера отвечать Н, если вы собираетесь пойти в нижнюю сторону (на само собой разумеющуюся полосу), В — если вы хотите перейти на полосу выше, и ничего не отвечать, если вы не хотите шевелиться.

Программирование этой игры очень просто. Желаю успеха.

* Игра 8. Шадок у гиби.

«У шадоков ситуация удовлетворительна. Испытания ракет продолжаются, постоянно кончаясь неудачами.

Дело здесь в одном из основных принципов шадокской логики: «Нет ничего, что бы непрерывно продолжалось и не кончилось успехом». Или, в других выражениях: «Чем больше неудач, тем больше шансов, что оно заработает». Их ракета еще несовершенна, но они вычислили, что у них есть по крайней мере один шанс из миллиона, что она заработает… И они торопятся поскорее осуществить 999999 первых неудачных опытов, чтобы быть уверенными, что миллионная заработает». (Жак Руксель. Великолепие навыворот. Париж, издательство Грассе.)

Великий колдун сказал, что ракеты терпят неудачу потому, что не хватает транзисторов в системах безопасности. Но у гиби транзисторы собирают с растений, произрастающих на огородах. Решено послать одного из шадоков на планету гиби искать транзисторы. Гиби, очень умные благодаря своим шляпам, быстро проникли в планы шадоков и решили позабавиться. Они позволили шадоку забраться в один из их огородов, но окружили его со всех сторон, и всякий раз, когда растение расцветает и дает транзистор, они мчатся, чтобы собрать урожай прежде шадока.

Вот вам тема игры. Как и в предыдущих играх, я предлагаю здесь версию, которую я реализовал на своем микрокомпьютере, Вы можете подогнать параметры в зависимости от возможностей вашей машина, а также в зависимости от желаемой трудности игры и шансов на успех. Было бы благоразумно. В первых версиях из осторожности стоит считывать все параметры до начала каждой партии. Вы сможете также сделать несколько попыток, чтобы добиться удовлетворительного расположения всех персонажей в огороде. Не придерживайтесь рабски сделанных ниже предложений.

В начале игры компьютер воспроизводит образ огорода] где появляются: гиби, обозначенные буквами Г; цветы с транзисторами, обозначенные цифрой, показывающий число транзисторов, которые можно собрать с этого цветка (есть цветки с одним транзистором, наименее продуктивные, и цветки с девятью транзисторами, наиболее продуктивные); шадок, представленный крестиком (?); пустые места, обозначенные точкой. Вот возможная комбинация. В ней 12 строк по 20 полей, с 15 гиби и 20 цветками. Все их значения указаны. Шадок имеет право на 40 ходов, чтобы собрать 100 транзисторов. Компьютер постоянно сообщает число оставшихся ходов и число уже собранных транзисторов.

На своем ходе шадок может переместиться па одну клетку в любом направлении. Я выбрал определение перемещения с помощью 0, 1 и 4 букв: В — для верха, Н — для низа, Л — для левой и П — для правой стороны. Если ответ пуст, то шадок не шевелится. Если ответ П, то нужно сделать один шаг вправо на той же строке. Если ответ ВЛ (или ЛВ, порядок не важен), то шадок перемещается на 1 шаг но направлению диагонали вверх и влево.

Если при движении шадок оказывается на поле, запятой цифрой, то эта цифра исчезает из игры и ее значение прибавляется к сумме, набранной игроком. Случайным образом выбирается новая цифра и располагается на свободном игровом поле.

Ну, а теперь — о путешествиях гиби. Каждый гиби перемещается на один шаг по строке, столбцу или диагонали к ближайшей к нему цифре. Это правило может привести двух гиби на одно и то же поле. Есть много способов разрешить проблему этих столкновений: например, если ноле назначения какого-либо гиби не является ни точкой, ни цифрой, то перемещение на него не осуществляется. Это проще всего. Если при своем перемещении гиби прибывает на поле, обозначенное цифрой, то эта цифра исчезает из игры. Когда все гиби перемещены, нужно случайным образом раздобыть столько же цифр, сколько было упразднено, и случайным образом расположить их на местах, обозначенных точками.

Игра кончается, либо когда шадок приобретает свои 100 транзисторов, либо когда число ходов, предоставленных ему, оказывается исчерпанным.

Эта игра включает намного более случайных элементов, чем предыдущая. Но можно играть с большей или меньшей ловкостью. На рис. 3 шадок может собрать урожай с одной из трех следующих цифр: с 3 — выше от него в том же столбце (этой цифре угрожает гиби, по шадок, играя первым, достигает ее раньше); с 5 — ниже и правее его (и ей тоже угрожает гиби, но шадок его опередит) с 9 — ниже и левее (эта цифра дальше, нужно три хода, чтобы достичь ее, вместо двух для предыдущих цифр, но нет ни одного гиби поблизости). Цифра 9 дает наибольшее число очков, но обходится в три хода. Если так и сделать, то уже ни одной цифры поблизости не окажется. Цифра 5 находится в углу, наводненном гиби. Как будто у нас нет особых оснований выбрать в качестве следующего хода что-либо другое. Именно 3 оказывается наилучшим выбором, потому что и 5, и 7, и 9 не слишком близко, В этом углу гиби есть, но там и с цифрами неплохо, так что их перемещения более или менее предсказуемы (если сумеете, сделайте, чтобы это было в точности так). Итак, у вас есть возможность выбирать каждый отдельный ход наилучший образом, но вы не можете проводить вычисления слишком далеко: вы не знаете, как будут противодействовать гиби, а их достаточно много для того, чтобы при каждом ходе какие-то цветы исчезали, позволяя другим расцвести.

Эту игру не так уж трудно запрограммировать. Но нужно сосредоточить внимание на перемещениях гиби. Для каждого из них найдите ближайший цветок и, если несколько цветков находятся на одном и том же расстоянии, выберите случайным образом тот, к которому он отправится.

* Игра 9. Плата за страх.

Шел когда-то фильм с таким названием. Я его не видел, но о нем достаточно много говорили по телевизору, чтобы я знал, о чем он, и он дал мне идею гораздо менее опасной игры!

Вы — тот самый игрок, который, в обмен на обещанную кучу денег, рискует своей жизнью, которой угрожают наемные убийцы. Игра разыгрывается в пространстве, наполненном препятствиями. За вами гонятся трое убийц. Они вооружены револьверами и стреляют в вас, если вы с ними не разделены препятствием. Это — хорошие стрелки: если вы находитесь на линии выстрела, они не промахнутся и компьютер сообщит R. I. P. (requiescat in расе: «да покоится в мире» — для тех, кто совсем не учил латыни).

Более точно, игра снова реализуется на прямоугольнике, образованном точками (свободными местами) и нулями (препятствиями). Я выбрал прямоугольник с 12 строками и 20 столбцами, Я расположил там 100 препятствий в трех убийц (обозначенных У).

Рисунок 4 снят с экрана. Условимся, что убийцы могут стрелять только в направлении строки или столбца,

В приведенной конфигурации игрок (обозначенный ?) не находится на линии выстрела ни одного из убийц. Он может перемещаться на один ход в любом направлении (как король в шахматах). Игра разыгрывается следующим образом:

— игрок перемещается (один из способов перемещения — пребывание на месте, где он находится. Но можно помешать игроку укрываться в норе. Я ограничиваю число стояний на месте пятью ходами). Переходить можно только на место, обозначенное точкой. Если игрок оказывается после этого на линии выстрела одного из убийц (в той же строке или в том же столбце и не огороженным препятствием), то он мертв;

— после этого трое убийц перемещаются на один шаг — все равно в каком направлений (они не могут оставаться неподвижными). Они перемещаются на поле, обозначенное точкой. Нужно договориться об их перемещении, чтобы учесть в случае необходимости спорные ситуации, например, перемещать их одного за другим, что позволяет для каждого из них учесть движения предыдущих. Убийцы, когда у них есть возможность, перемещаются так, чтобы приблизиться к игроку. Если в результате этого перемещения убийца оказывается в состоянии взять игрока на мушку, то он стреляет и убивает его. Игра сразу кончается. Если это не так, то цикл возобновляется.

Если игроку удается просуществовать в продолжение данного числа ходов, он выигрывает.

Может случиться, что убийца оказывается бок о бок с игроком, но по диагонали. Он не может стрелять, потому что не находится ни на той же строке, ни в том же столбце. Вы можете сказать, например, что ваш игрок — чемпион по дзюдо и что убийцы не рискуют атаковать его в ближнем бою. Но вы можете принять и противоположную тактику: если при разрешенном перемещении убийца может попасть на клетку игрока, то последний считается убитым. Тем самым вы уменьшите шансы игрока…

Эту игру запрограммировать не очень трудно. Нужно только принять единственную меру предосторожности: в процессе бросания жребия о начальной конфигурации устройте так, чтобы ситуация не оказалась катастрофической с самого начала игры: ни один из убийц не должен находиться ни в строке, ни в столбце, где находится игрок, а также и не в соседних строках и столбцах.

Я сыграл немало партий. Есть два способа играть. Можно трепыхаться в набитом препятствиями участке в плавать между двумя соседними неприступными полями. Выигрываешь без славы… Можно обыгрывать трудности и, напротив, пытаться вовлечь убийц в гонку преследования, уклоняясь от всех их ловушек. Это намного труднее. Их все-таки трое… Если у вас появятся соображения о том, как ограничить возможности избирать первую тактику, используйте их. Я в этом не преуспел. Деятельность по подсчету стояний на одном месте — это простейшая защита, позволяющая избежать случая, изображенного на рис. 5. Попав однажды на место, обозначенное крестиком (?), игрок может оставаться там бесконечно. Перед лицом необходимости перемещаться убийцы то освобождают, то снова занимают два места, обозначенные буквой У, но не имеют возможности выселить игрока. Если же число стояний на месте ограничено, то игроку невыгодно входить на эго поле, с которого он больше не сможет уйти. Но это может оказаться выгодным в конце партии, если число оставшихся ходов меньше числа разрешенных стояний на месте.

Игра 10. Игра роботов.

Я принял за образец игру, которую я нашел в обзоре по компьютерам. Я глубоко сожалею, что не узнал о ней больше, чтобы воздать ее автору (мне неизвестному) по заслугам. Ее тема в каком-то смысле сравнима с темой «платы за страх», но правила другие и они дают существенно отличающуюся стратегию игры при не очень измененном программировании. Это — идеал для тех, кто больше любит играть с компьютером, чем писать программы. Здесь мы отличаемся: для меня большее развлечение — писать программы…

История происходит в 2387 году. Космическая экспедиция достигает планеты X. Один из участников экспедиции проникает в огромный зал разрушенного здания. Земля изрыта многочисленными расщелинами, открывающими бездонные пропасти. Ни одной живой души, но местные жители достигли высокого технического уровня. Они построили автоматические заводы, производящие движущихся роботов. Заводы еще работают сами по себе, но с перебоями. Появление роботов случайно, да и не работают больше эти роботы так, как когда-то… Они продолжают стремительно нападать на пришельцев, но как слепые. Если избранный ими путь приводит их к расщелине, они оказываются не в состоянии избежать ее и проваливаются в дыру. Что же касается избираемого ими пути, то он определен полностью без всяких уловок: прямо к пришельцу. Игра начинается с входа посетителя в помещение. Дверь за ним автоматически закрывается. Единственный выход — на другом краю. Роботы входят в зал через четыре угла. В начале игры в помещении находится некоторое количество роботов. У посетителя есть два козыря:

— с помощью хитроумных перемещений он может заставить роботов сваливаться в расщелины и тем самым отделываться от них;

— у него есть несколько дезинтегрирующих зарядов, с помощью которых он может разрушать роботов. Но он может применять их только в ближнем бою (разве что дальность его оружия не ограничена. Насколько мы знаем, на земле такая дистанция есть…). Кроме того, ему нужно экономить заряды. Еще неизвестно, что его ждет, когда он приблизится к выходу…

Рисунок 6 воспроизводит экран микрокомпьютера. Помещение есть прямоугольник с 11 строками и 18 столбцами. Строки обозначают свободные места, 0 — расщелины в полу, Р — роботы. Крестик (?) обозначает игрока, здесь — в начальном положении. Выход обозначен плюсом.

При своем ходе игрок может

— убить роботов на полях, прилегающих к его собственному;

— переместиться на одно поле в любом направлении, при условии, что он не попадет в расщелину, в результате чего он погиб бы. Он не должен также перемещаться в клетку, помеченную Р, так как там он был бы уничтожен роботом. Если это перемещение приводит его к полю +, то он выигрывает.

Вот что сделал я для реализации этого. Игрок сначала говорит, каких роботов он хочет разрушить, а затем — куда он хочет пойти. Если он отвечает

?Л, ?В, НЛ

это означает, что должен быть разрушен робот слева (на соседнем поле), как и робот, находящийся на соседнем поле над ним, после чего он передвинется на поле, расположенное ниже и левее.

Каждый раз, прочитав ответ, компьютер вычисляет новое состояние игры и показывает его. Число роботов, которых игрок может разрушить, ограничено, компьютер следит за ним и в каждое мгновение может сообщить.

После этого роботы переместятся, каждый на одну клетку, все равно в какую сторону (по горизонтали, по вертикали или по диагонали). Если при этом робот оказывается на доле 0, то он уничтожается. Если два робота сталкиваются при движении, то один из них уничтожается. Кроме того, роботы случайным образом добавляются в четырех углах игрового поля. Это нужно делать для то- го₍ чтобы число роботов в игре оставалось более или менее постоянным.

В случае, изображенном на рис. 6, игрок может остаться неподвижным. Тогда робот, расположенный над игроком в том же столбце, уничтожается в западне, расположенной непосредственно ниже, но робот, расположенный левее и ниже игрока, приблизится к игроку, и последнему придется разрушить его на следующем ходе. Игрок может также начать с хода влево, но тогда два робота приблизятся к нему, и ему придется разрушить их на следующем ходе.

Игра оказывается более или менее трудной в зависимости от соотношения между числом препятствий и числом роботов. Я взял прямоугольник с 11 строками и 18 столбцами (число строк нечетно по причине особой роля, которую играет среднее поле), с 30 расщелинами и 20 роботами. Игрок имеет право разрушить 12 роботов. В начале игры игроку, как правило, трудно выйти из своего начального положения, потому что он находится поблизости от двух правых углов, из которых появляется немало свежих роботов. Когда же ему удается удалиться от правого края, выходящие из углов роботы его меньше стесняют и большая их часть падает в расщелины. Трудности возобновляются при приближении к левому краю. Именно поэтому нужно избегать растраты боеприпасов в начале партии. Попытайтесь, и вы увидите, что это требует немалой ловкости…

* Игра 11. Формула 1[12].

Задумывались ли вы когда-нибудь над тем, что переживает водитель, мчащийся на огромной скорости по извилистой дороге, обгоняя попутные машины и уклоняясь от встречных? Конечно, вы не преобразуете ваш компьютер в быстро мчащийся автомобиль, и с помощью используемых нами графических средств мы не сможем создать впечатление движения по расстилающейся перед вами дороге. Так как, наконец, я полагаю, что у вас нет средств управления вашим компьютером в реальном времени (этих средств нет не только у меня, но и в оборудовании учебных заведений)[13], поэтому перед любым вашим действием вы сможете размышлять столько времени, сколько вам захочется, а это совсем не так в случае водителя на дороге. Но попытайтесь-ка в этой игре реагировать быстро и вы увидите, что эффект не так уж плох, несмотря на элементарность средств…

Автострада выводится на экран в виде последовательности строк, на которых поставлены точки, нули и звездочка. Точки реализуют 4 полосы движения и представляют свободные места. Выше транспортное средство пред- ставимо звездочкой. Нули суть неподвижные препятствия (скажем, что-то тяжеловесное и очень медлительное). Типичная ситуация изображена на рис. 7. Вы находитесь перед участком дороги (я выбрал 13 строк. Это дает мне хорошие результаты. Но вы можете взять больше, если вам позволяет ваш экран; это увеличивает возможности предвидения. Вы можете взять и меньше, что заставит вести машину в еще более стесненных условиях…).

У вас есть некоторая скорость, которая не выводится на экран, но вы можете ее узнать. В начале игры решается, фиксируется ли она сразу на всю игру (я выбрал 4) или предлагается вами. Когда вы решаете — ускоряете ли вы движение или замедляете его — вы можете узнать на каждом ходе, какова она. Но я не считаю уместным заставить компьютер сообщать ее постоянно — это слишком многое облегчает водителю. Увидите сами.

Компьютер требует от вас, что вы собираетесь делать: ускорять, замедлять, повернуть правее или повернуть левее. Попарно эти возможности взаимоисключающие, но вы можете одновременно ускорить движение и взять вправо или замедлить и взять влево. Вы можете также не менять ни вашу скорость, ни направление вашего движения.

Если вы ускоряете движение, то ваша скорость увеличивается на одну единицу. Если вы замедляете движение, то скорость уменьшается на единицу. Если вы таким образом добираетесь до нуля, то вы рассматриваетесь как проигравший партию: вы не имеете права останавливаться…

Предположим сначала, что вы не меняете направления движения. Ваша машина спускается по вертикали на число строк, равное вашей скорости. Это может привести к тому, что вы пересечете поле, обозначенное 0. Тогда вы сталкиваетесь с грузовиком, вы пропали. Это может также привести вас к тому, что вы попадаете на не обозначенное поле. Вы покинули дорогу. Это — тяжелый несчастный случай. Вы пропали. Так, на рис. 8, если ваша скорость превосходит 2, то вы сталкиваетесь с грузовиком. Если бы вы исходили из крайнего левого поля того же ряда и ваша скорость превосходила бы 5, то вы покинули бы дорогу (внимание: вы пропали с того момента, как вы достигли нуля или не обозначенного поля. Оставшаяся часть вашей траектории движения не рассматривается).

Теперь, если вы меняете направление движения, двигаясь, например, вправо, то ваша машина продвигается по диагонали из исходного ряда вправо до следующей строки, а затем движение продолжается дальше в том столбце, в котором оказывается машина. Понятие «вправо» двусмысленно: вы можете расширить его до «вправо на фигуре» или «вправо по направлению движения». Это не так уж важно, выберите тот смысл, который вы пожелаете. Если это вас шокирует, переверните рисунок и заставьте машину подниматься; тогда «направо» будет значить «направо на экране» во всех случаях. Но это немного усложняет программу, и я так не делаю.

Если вы повернете направо в случае, изображенном на рис. 8, то какова бы ни была ваша скорость, вы сразу же сталкиваетесь с грузовиком. Если вы повернете налево, то вы избегаете грузовиков, но ваша скорость не должна превосходить пяти.

Когда вы сообщили все ваши команды, компьютер показывает положение звездочки на последовательных строчках, чтобы материализовать ваше движение. Если вы оказываетесь на поле, не помеченном точкой, то все останавливается, вы пропали. В противном случае через некоторое время — время ожидания, дающее вам возможность лучше рассмотреть пройденное вами, вся фигура поднимается, чтобы возвратить вашу машину на верхнюю строку, и на экране появляется новый кусок дороги. Таким образом, вы можете обнаружить, что вы едете слишком быстро и что дорога резко поворачивает или что попарно гуськом идут по два тяжелых грузовика, которые блокируют две полосы движения. Вы можете затормозить, но только на одну единицу. Придется рисковать…

Для того чтобы игра не продолжалась бесконечно, вы должны условиться о числе линий, которые нужно пересечь (например 100). Если вы достигли этого, компьютер прославляет вас так, как вы того заслуживаете, и указывает вашу среднюю скорость.

Эту игру программировать не очень трудно, если не считать того, что нужно оказаться способным корректно дозировать число грузовиков, и что нельзя позволять дороге часто делать зигзаги, а также выходить за пределы экрана. Но здесь нет ничего, с чем вы не могли бы справиться.

Собственно игра оказывается гораздо труднее, чем можно было себе представить. Вы, конечно, можете затормозить до скорости 1. Вы оказались на краю. Но ничего смешного нет. Вы можете оказаться в самом рискованном положении, вы терпите удар за ударом. Благодаря воспроизводимым непредсказуемым последовательностям вы можете много раз возобновлять один и тот же пробег. Впрочем, здесь бывает трудно вспомнить, что же происходит на шестидесятом километре… Вы можете также попробовать маршрут, а затем предложить его вашим друзьям. И если вы на их глазах вылетели с трассы, но вовсе не факт, что они смогут на ней удержаться. Итак, желаю успеха!

?** Игра 12. Твоя песенка спета, любопытный!

Идея не нова, да и реализация поступила в рыночную продажу. Но в этой игре возникают некоторые маленькие задачи по программированию, И я предлагаю вам красивый план их реализации.. К тому же это позволит ввести вас в игры с числами.

Вы знаете телевизионную игру: вытащить случайным образом 6 шашек среди 24_f образованных следующим образом:

двойной набор из 10 шашек с числами от 1 до 10;

четыре шашки с числами 25, 50, 75, 100.

Случайным образом выбирается трехзначное целое число (первая цифра которого — не нуль, так что оно содержится между 100 и 999, включая границы). Задача состоит в том, чтобы менее чем за 45 с обнаружить последовательность операций, использующих только значения шести выбранных шашек, причем каждую не более одного раза, и соединить их знаками + ? ? / (целочисленное деление разрешается только в тех случаях, когда оно выполняется нацело, без остатка).

Вот пример, который я получил с помощью своей программы.

Шашки: 4 4 7 8 9 100

Число, которое нужно получить: 380

В течение 45 с, которые я выделил своему компьютеру, я получил следующее решение:

4 ? 100 = 400

9 + 8 = 17

7 + 17 = 24

24 ? 4 = 20

400 ? 20 = 380

Это решение использует 6 шашек. Компьютер сообщает еще через 45 с:

4 ? 9 = 36

4 + 36 = 40

7 ? 40 = 280

280 + 100 = 380

Это решение не использует шашки 8.

Не пытайтесь сделать эту программу, следуя методу игры: вытащить случайным образом 6 шашек, вытащить случайным образом число, которое нужно получить, сообщить и то, и другое и в продолжение следующих 45 в искать нужную комбинацию. У вас нет никаких шансов, чтобы это произошло (см. Головоломку 28). Действуйте лучше следующим образом.

Выберите случайным образом 6 шашек и их комбинацию. Если результат не лежит в промежутке от 100 до 999, — повторите выбор. Если результат допустим, то выведите сообщение, какие 6 шашек участвуют, расположив их, например, в возрастающем порядке, чтобы не было понятно, в каком порядке они были использованы; сообщите искомое число, затем сообщите оставшиеся секунды и, когда 45 с протекут, сообщите результат. Здесь есть неудобство: всегда есть хотя бы одно точное решение. И при том, что не приходится особенно обольщаться, то, что вы достигнете с его помощью, вы, может быть, сможете сделать по-другому только приближенно.

Внимание: случайным образом выбирать комбинацию на самом деле вовсе не всегда так просто, как в приведенном примере. Не забывайте, что вы можете использовать и не все шашки. Найдите способ получать ответ. Я не вполне удовлетворен своим собственным. Я предпочел бы знать и другие способы это сделать…

?** Игра 13. Две лисы и 20 кур.

Когда я был молод, мы играли в эту игру на свежем воздухе, используя маленькие булыжники в качестве кур и два булыжника побольше для лис. Мы расчерчивали эту игру мелом на асфальте или палкой на утрамбованной земле.

Вот как я представляю эту игру на экране своего компьютера. Буквы представляют кур, звездочки — две лисы. Куры могут перемещаться на один шаг вверх, влево или вправо, но не назад и не по диагонали. Лисы также могут перемещаться только на один шаг, но также и вверх — как и вниз, влево и вправо. Лиса может съесть курицу — как в игре в шашки: если в горизонтальном или вертикальном направлении за курицей на один шаг следует свободное поле, то лиса перепрыгивает через курицу на свободное поле и берет ее. При этом трофеи складываются. На рис. 9 одна лиса может съесть курицу b, тогда как вторая лиса может съесть за один ход кур e и f. Лисы всегда обязаны есть и, когда у них есть выбор — как на рис. 9, — они обязаны осуществить наиболее длинное поедание. Если два приема пищи имеют одинаковую длину, осуществляется один из них — по выбору лисы.

В запрограммированной версии компьютер играет за лис. Вы перемещаете кур. Партнеры играют по очереди, причем куры начинают. Они выигрывают партию, если девяти из них удается занять 9 полей, образующих верхний квадрат игры (квадрат, нижние углы которого на рис. 10 занимают лисы). Начальное положение кур и лис изображено на рис. 10. Куры выигрывают также, если им удается заблокировать лис.

Лисы выигрывают, если им удается съесть 12 кур, так как тогда оставшихся кур недостаточно, чтобы занять 9 верхних полей.

Может показаться удивительным, что я отношу эту игру к категории игр без стратегии. Как вы собираетесь перемещать лис по вашей программе для компьютера? Действительно, возможностей слишком мало, и едва ли стоит говорить о стратегии. Нужно, чтобы при каждом ходе программа искала наиболее длинный среди всех возможных путь поедания для лис и осуществляла его, если он единствен. Если существуют два таких пути, то один из них нужно выбрать. Если их нет совсем, то способ действия состоит в том, чтобы посмотреть, позволит ли какое-нибудь перемещение лисы поставить ее в состояние возможного поедания. Если такой ход есть, то почему бы его не сделать, это заставит кур реагировать. Если и такого угрожающего хода нет, то остается мало возможностей выбора. Я был поражен, увидев, что если выбрасывать ходы случайным образом вместо того, чтобы осуществлять их выбор, то результат будет не намного хуже… Но, конечно, не так уж трудно придумать что-нибудь получше. Единственная настоящая трудность программирования — определение наиболее длинного пути поедания.

?** Игра 14. Одна лиса и 13 кур.

Это — вариант предыдущей игры. Та же конфигурация, но только одна лиса и 13 кур. Та же задача: 9 кур должны занять верхний квадрат. Лиса обязана есть, и притом по наиболее длинному пути.

В отличие от предыдущей игры лиса и куры могут также перемещаться по диагонали, но куры не могут двигаться вниз. Линии на рис. 11 указывают на возможные перемещения.

Программирование этой игры сравнимо с программированием предыдущей. Я попытался быть немного более хитрым при определении перемещений лисы: так как здесь меньше того, за чем нужно следить, то можно израсходовать немного больше времени, чтобы заняться единственной лисой.

В результате получилась более хитрая игра. В варианте с двумя лисами курам довольно легко удается блокировать лис и, таким образом, выиграть. В версии с одной- единственной лисой увеличивается богатство возможных перемещений, и блокировать лису трудно. Можно отдать не более четырех кур и не так-то легко пожертвовать их так, чтобы отправить лису на другой край, в то время как остальные куры заполняют курятник.

Привыкнув к игре с двумя лисами, я вначале никак не мог приспособиться к этой игре, особенно к манере лисы ходить по диагонали» Но это не страшно. С того момента, как вы полностью ухватите способ движения (и, в частности, возможность перейти из h в b и из j в f на рис. 11), эта программа даст вам настоящую возможность играть: вы можете применить ту или иную стратегию игры на выигрыш против машины, которая такой стратегией не очень-то обладает…

Игра 15. Игра Доминика.

Уж здесь-то я могу ручаться, что это игра для начинающих. Ее для своего малюсенького микрокомпьютера придумал мой племянник Доминик. Она напоминает «плату за страх» (игра 9). Начальное положение игры — то же (рис. 4). Доминик взял прямоугольник поменьше и уменьшил число препятствий. Для начала он поставил препятствия на определенные места.

Правила игры изменены. Убийцы не вооружены огнестрельным оружием, у них — только ножи. Они не могут добраться до игрока иначе, чем достигнув занимаемого им поля. Игрок перемещается на 1 шаг в любом направлении (по горизонтали, по вертикали, по диагонали) с условием перемещаться на свободное поле. Убийцы на своем ходе приближаются к игроку на один шаг — обязательно на свободное поле — в любом направлении.

Игра осталась очень интересной. Проблема нахождения игрока и убийцы на смежных линиях больше не стоит. Если убийца оказывается рядом с игроком в каком-либо направлении, он его хватает на следующем ходе, если игрок не удаляется от него при своем ходе…

В этом разделе мы предлагаем программировать игры, главная трудность которых заключается в том, чтобы дать компьютеру хорошую стратегию. Разделение па игры со стратегией и без нее до некоторой степени произвольно. Уже по поводу случайных чисел мы предлагали игру со стратегией (игра 2). Конечно, совершенно необходимо, чтобы вы могли хоть немного развлечься… Некоторые из игр, с которыми вы познакомитесь, требуют не намного больше размышлений, чем игра в лис и кур. На самом деле это во многом зависит от особенностей вашего ума: стратегия, очевидная для одного, является головоломкой для другого.

Можно также упрекнуть некоторые игры в том, что они теряют всякую привлекательность, поскольку компьютер располагает выигрывающей стратегией. Если партнер компьютера не знает этой стратегии, то он проигрывает все партии. Если же он ее знает, то тот, кто делает выигрывающий начальный ход, неминуемо становится победителем.

Наконец, некоторые игры настолько распространены, что я постеснялся их здесь предлагать: такова, например, игра Отелло. Не пытайтесь браться за шашки или шахматы. Слишком трудно!

В этом разделе вам предстоит встретиться с двумя трудностями:

— найти стратегию для компьютера;

— запрограммировать ее.

Именно потому, что есть так много опубликованных плохих программ, я, не ссылаясь на эти публикации, добавил игру Нима, Сочувствую всем тем, кто может оказаться обиженным. Но тот, кто публикует программы, всегда рискует. Таковы правила этой игры.

Игра 16. Чтобы войти в курс дела,

Это — крайне простая игра, которую Роуз-Бол [BAL] относит к средневековым играм, поскольку ей действительно более 500 лет.

Вы выкладываете на стол 50 спичек. Каждый игрок по очереди вынимает спички из кучи, по меньшей мера 1 и не более 6. Кто берет последнюю спичку, выигрывает.

Вы можете реализовать ее, заставляя компьютер сообщать число оставшихся спичек, Когда очередь хода за компьютером, он делает ход настолько быстро, что игрок не успевает увидеть происходящего. Включите в вашу программу «цикл ожидания», чтобы замедлить игру компьютера (цикл от 1 до нескольких тысяч, в котором ничего не происходит:

ДЛЯ i = 1 ДО 2000 ВЫПОЛНЯТЬ ВЕРНУТЬСЯ

Вы можете изменить игру, взяв в качестве допускающих изменение данных — начальное число спичек и максимальное число спичек₍ которое можно вытащить на каждом ходе.

? Игра 17. Игра дат.

Эта игра предложена Берлокеном [BER]. Номер года в ней не очень существен, но предполагается, что год не високосный: в феврале 28 дней. Первый игрок сообщает какую-нибудь дату января. Каждый игрок на своем ходе называет более позднюю дату, увеличивая либо календарную дату в месяце, либо месяц, но не то и другое сразу. Если, например, начальной датой было 8 января, то можно перейти к 8 марта или к 12 января. Можно увеличить меньше: 9 января или 8 февраля; можно перейти сразу к 8 декабря или 31 января. Внимание: если вы переходите к 31 января, то ваш противник сможет в дальнейшем менять только месяцы, и притом лишь месяцы с 31 днем.

Первый, кто доберется до 31 декабря, выигрывает.

У вас не должно возникнуть никаких затруднений ни в определении стратегии, ни в программировании этой игры. Подумайте о проверке осмысленности предлагаемых дат… Кроме того, вставьте цикл ожидания, чтобы дать игроку время для ответных действий. Компьютер должен быть вежлив и должен спросить, кто будет начинать, по крайней мере, бросить «орла» или «решку», чтобы узнать, кому начинать…

?** Игра 18. Игра с 24 картами.

Расположим на столе 24 раскрытые карты: все карты с номерами от 1 до 6 обычной колоды, где туз считается за 1. Масти карт несущественны: двойка бубен имеет то же значение, что и двойка треф.

Каждый игрок при своем ходе берет со стола карту и складывает ее значение с суммой тех, которые были взяты ранее[14]. Первый, кто берет в точности 50 очков, выигрывает. Внимание: если при вашем ходе вы, взяв карту, не можете не превысить 50 очков, то вы проиграли. Если, например, ваш партнер увеличил сумму до 49 очков, а все тузы уже взяты, то вы проиграли: карту нужно брать, а ее значение больше единицы.

Это — вариант средневековой игры. Стратегия гораздо сложнее, потому что карт каждого сорта только 4. К этой игре нужно привыкнуть. Сперва компьютер выигрывает все партии подряд (любопытна реакция программиста: я счастлив, что моя программа меня обыгрывает). Но по прошествии нескольких партий уже я выигрываю. Тогда программу нужно улучшить.

?** Игра 19. Игра города Нима.

Ах! Эта нимская игра… кто ее не знает. Существует немало запрограммированных вариантов в большом числе публикаций и обзоров. Читатель может сказать мне, что этой игре здесь не место: если моя цель — заставить читателя программировать, то я проиграл с самого начала.

Ну, нет. Поскольку решения, предложенные в вышеупомянутых книгах (и, поскольку перечитывать их бесполезно, то я их имена и не указываю), очень плохо запрограммированы и совершенно не объяснены. Вам придется сделать лучше. Если вы знаете выигрывающую стратегию, то вам придется ее испытать, чтобы её проверить. Если вы ее не знаете, вы должны попробовать ее изобрести. Во всех случаях нужно программировать очень тщательно, чтобы не делать ненужных вычислений.

Напомним даже саму игру на тот очень мало правдоподобный случай, если вы ее еще не знаете. Это игра для двоих, и компьютер будет вашим партнером. На столе — кучи спичек в некотором количестве, и в каждой куче — некоторое количество спичек. Например, есть 5 кучек с 8, 13, 7, 5, 9 спичками.

Каждый игрок на своем ходе берет столько спичек, сколько хочет, из одной кучки, но он обязан взять хотя бы одну. Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку. Вот партия, сыгранная от начала до конца. Компьютер начинает.

Исходное положение: 8, 13, 7, 5, 9

Вы проиграли. Если вы возьмете две спички из одной кучки, то компьютер возьмет две из другой, так что и последнюю и потому выиграет. Если же вы возьмете одну спичку из одной кучки, то он возьмет одну из другой, и вы проигрываете на следующем ходе.

Мариенбадская игра является простым вариантом этой: проигрывает тот, кто берет последнюю спичку…

Этот род игр можно решительно осудить. Это — совершенно несправедливая игра. Выигрывающая стратегия существует. Если ваш противник ее не знает (как было в приведенном выше примере), то он обязательно проигрывает. Если же он ее знает, то он первый воспользуется усвоенной им выигрывающей стратегией, и вы ничего не сможете сделать. С другой стороны, даже если вы знаете выигрывающую стратегию, вы рискуете проиграть компьютеру, потому что вы не так хорошо считаете…

?** Игра 20. Игра Норткотта.

Вот менее известная игра, которую, однако, гораздо труднее программировать. Эта игра разыгрывается двумя участниками на прямоугольной площадке, разделенной на поля, как показано на рис. 12.

Каждый игрок располагает по шашке на каждой стропе, В начале черные шашки находятся на левых полях, белые — на правых. При каждом ходе игрок перемещает одну из своих шашек направо или налево на столько полей, сколько он хочет; но он не может переходить край игрового поля, и не может переходить за клетку, предшествующую противоположной шашке; шашки друг друга не берут и нельзя переходить занятое поле. Проигрывает тот, кто не может пошевелиться, потому что все его шашки загнаны между краем и противоположными шашками.

Размер игры значит очень мало. Я предпочитаю игру с тремя строками, но 4 и 5 — тоже очень хорошие числа. Длина строк несущественна. Выберите ее так, чтобы игра хорошо смотрелась.

На экране вы можете воспользоваться техникой, которая нам так часто служила. Пусть свободные клетки будут представлены точками, шашки одного из игроков — звездочками, а другого — 0. На рис. 13 воспроизведено начальное положение (4 строки, 9 полей на строке). Ход компьютера состоит просто в перемещении одной из его шашек (внимание: если ответ будет слишком быстрым, его, может статься, будет трудно воспринимать. Подумайте, как использовать цикл ожидания). Ход игрока может быть дан компьютеру в вг-де указания, на какой строке нужно переставить шашку и число полей при перемещении; положительное число указывает на приближение к противнику, отрицательное число означает отход к краю игрового поля. Все это очень просто,

?* Игра 21. Игра Кейлеса.

В наиболее простой форме эта игра разыгрывается со спичками, положенными в один ряд. Каждый игрок на своем ходе вынимает либо какую-то одну спичку из строки, либо две смежные спички. Это может разломать исходный ряд на несколько меньших рядов. Вот, например, начальная конфигурация (спички обозначены нулями), а затем — состояние игры через несколько ходов (точки обозначают места, оставшиеся пустыми).

Вначале:

0000000000000

После нескольких ходов;

.000..00.0000..

Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку.

Игру можно легко распространить на случай нескольких исходных линий спичек. На каждом ходе игрок берет либо одну спичку, либо две соседние спички на линии, которую он выбрал.

Как и в предыдущих играх, подумайте о применении цикла, ожидания, чтобы у вас было время увидеть ответ компьютера. Как и в играх Нима и Норткотта, эта игра не очень-то справедлива. Компьютер выигрывает все партии, до крайней мере, если его противник не знает выигрывающей стратегии…

* Игра 22. Игра Сима.

Еще одна игра, тоже совершенно не равноправная для двух игроков — для компьютера и для вас.

Игра разыгрывается на листе бумаги, на котором обозначены 6 точек, являющихся вершинами правильного шестиугольника, помеченные буквами A, B, C, D, E, F. Естественно ожидать, что вашим партнером будет компьютер, и ему никакой бумаги не нужно, так что 6 точек появятся на экране.

Каждый игрок при своем ходе проводит отрезок прямой, соединяющий еще не соединенные вершины. Нужно, чтобы следы отрезков, проведенных различными игроками, можно было отличить. На рис. 14 следы одного — сплошные, а у другого — штриховые. В запрограммированной игре именно компьютер берет на себя проведение отрезков. Скажите ему только названия вершин, которые вы хотите соединить. Он и проведет отрезок, причем такого типа, который вам присвоен. Затем он выберет вершины, которые он захочет соединить, и проведет свой собственный отрезок.

Проигрывает тот, кто первым построит треугольник из своих собственных отрезков. Так, на рис. 14 тот, кто проведет отрезок из тире между D и E, проигрывает, потому что он образует отрезок AED из тире, между тем как отрезок AC из тире безопасен: он образует, конечно, треугольник ACD, но одна из его сторон — сплошная, и поэтому он безвреден для обоих игроков.

Сумеете ли вы показать, что в этой игре всегда есть проигравший? (Нельзя так расположить все возможные отрезки, чтобы никакие три стороны их, одинаковым образом выполненные, не образовывали бы треугольника.) Сумеете ли вы предложить хорошую стратегию для компьютера? Если компьютер и игрок играют в равную силу и не совершают никаких ошибок, кто тогда выиграет? Начинающий? Или другой?

На моем микрокомпьютере, не имеющем графических средств, я был вынужден удовлетвориться проведением отрезков с помощью выстраивания в ряд букв там, где компьютер считал нужным их поставить. Картина получалась не очень красивой, но игра оставалась осуществимой и интересной. С графическим да еще с цветным экраном у вас должно получиться просто загляденье, Но не забывайте поговорку Анри Ледгара [LED]:

Не занимайтесь формой вывода результатов, пока ваша программа не окажется правильной.

Когда ваша программа окажется правильной, тщательно отработайте форму вывода результатов.

? Игра 23. Спички Бергсона.

Нет, этот великий философ не играл в такие игры — по крайней мере, насколько я знаю. Эту игру предложил мне М. Дюма,_: профессор лицея Бергсона. Еще одна игра для двоих, в которой компьютер — ваш неумолимый партнер. Потому что если вы обнаружите выигрывающую стратегию, то компьютер не оставит вам никаких шансов, ведь у него и память есть…

На столе — кучка спичек (достаточно большая: вначале — по крайней мере 50). Каждый игрок при своем ходе берет спички из кучки. Нужно взять по крайней мере одну и не более чем вдвое больше, чем взял предыдущий игрок. На первом ходе можно взять одну или две спички. Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку.

Вот последовательность возможных ходов. Вначале — 50 спичек.

На каждом ходе, кроме последнего, каждый из игроков брал максимальное возможное количество, и игрок Б легко выиграл, взяв на последнем ходе 19 спичек, на что имел полное право, так как 1 ? 19 ? 2 ? 16 = 32. Конечно, это очень плохая стратегия. Вот другая партия:

Игрок А близок к победе. Если Б возьмет 3 спички и останется 5, то А имеет право взять последнюю. Это тем более верно, если Б возьмет более чем 3 спички (4, 5 или 6). Игрок Б не может взять больше и во всех случаях дает игроку А все права, чтобы он мог взять последнюю спичку). Единственными случаями, подлежащими обсуждению, остаются поэтому случаи, когда Б берет одну или две спички.

Если Б берет одну, то остается 7, А берет 2 и остается 5. Если Б после этого берет более одной, то А берет последнюю; если Б берет одну и остается 4, то А берет одну и остается 3; Б может взять только одну или две, и кончает игру А.

Если Б берет 2 и остается 6, то. А берет одну и остается 5, и А выигрывает тем же способом.

Я так подробно разбирал этот пример, чтобы познакомить вас с основными идеями. Тщательно изучите этот пример. Всегда ли игрок А заведомо выигрывает, как только он оставляет в куче 8 спичек…

Не предпринимайте здесь слишком глубокого изучения выигрывающей стратегии. Мы к ней еще вернемся ниже. Устройте только, чтобы ваш компьютер выигрывал при приведенных выше условиях, если старт для него благоприятен…

Вы легко сообразите, как представить эту игру на экране,

??** Игра 24. Гениальный отгадчик.

Вы уже сделали гениального ответчика; эта игра сложнее. Составьте программу для отыскания комбинаций, задуманных гениальному отгадчику. Вы можете идти двумя путями:

— вы выбрали комбинацию. Компьютер предлагает вам свою, затем читает число черных и белых шашек, которые получаются из того, что он вам предложил. Он должен найти ответ за наименьшее возможное число ходов;

— вы выбрали исходную комбинацию и сообщили ее компьютеру. Дальше все идет автоматически. Он выбирает некоторую комбинацию, определяет число черных и белых шашек, сообщает это все, затем переходит к следующей комбинации — пока не найдет ответ. Компьютер честен и не хитрит: он не использует того, что он знает задуманную комбинацию…

Вы скажете, что это неинтересно. Но это не так. Во-первых, стратегия поиска является вызовом для способности мышления. Мне пришлось немного подумать, чтобы получить в свое время разумный ответ с 6 позициями и 8 цветами. Попробуйте сами и убедитесь! С другой стороны, для гениального отгадчика существует проблема эффективного начала, В программе, составленной мною, я сам выбираю первые испытательные комбинации. Я смотрел, сколько было систематических попыток и каковы они были. Это позволило понять, насколько важен начальный выбор и может ли он сильно влиять на результаты. Это — хорошее орудие экспериментирования. И это очень легко устроить. Компьютер запрашивает вас, сколько опытов априори вы хотите осуществить. Затем он запрашивает у вас начальные комбинации, число которых он только что прочел. После этого компьютер предпринимает систематическое исследование, какая из предложенных комбинаций должна быть оставлена.

Чтобы преуспеть, вам нужен хороший метод, и программировать нужно очень тщательно.

?** Игра 25. Погоня за сокровищем.

Любой начинающий в информатике мечтает сделать программу — чемпиона мира по шахматам… Я и сам видел несознательных, бросавшихся на эту задачу. Чтобы утешить их, нужно сказать, что это — одно из больных мест истории информатики. Компьютеры были еще электронными монстрами, напичканными радиолампами, которые приходилось охлаждать кубическими метрами воды, когда Герберт Симон (недавний Нобелевский лауреат по экономике) уже сделал примечательные предсказания:

— через 10 лет чемпионом мира по игре в шахматы станет компьютер, по крайней мере если правила не будут запрещать им участвовать в соревнованиях;

— через 10 лет компьютер обнаружит и докажет новую важную математическую теорему;

— через 10 лет большая часть диссертаций, выпускаемых по психологии, будет облечена в форму программ для компьютеров или качественных комментариев к примечательным особенностям компьютерных программ (Герберт А. Симон, Аллан Кьюзлл: Эвристическое решение задач: следующее продвижение в исследовании операций. «Operations research», т. 6, январь-февраль 1958, с. 6),

И через 25 лет с момента предсказания у нас не возникло проблемы запрещать доступ компьютеров к шахматным чемпионатам, они не представляют серьезной угрозы. Да, одна из программ выиграла партию у чемпиона (каждый человек имеет право ошибиться; конечно, это относится и к чемпиону. Он был очень усталым). Ни одна важная теорема машиной не обнаружена, Что же касается диссертаций по психологии, то, может быть, даже хорошо, что предсказание Симона не оправдалось… Очень больно видеть, до какой степени информатика является благоприятным местом для ложных предсказаний. Сколько их нам обещали, этих чудес, которых мы так никогда и не увидели! Два года тому назад, во время Сикоба, журналист первой программы Французского телевидения показывал чудесную машину. Она была удивительно похожа на фотокопировальную. Он приподнял крышку, нашел там букву, нажал кнопку «и теперь буква зарегистрирована и мы ее легко узнаем, когда это потребуется». Фантастика! Покончим с этими мучительными сеансами поисков буквы этим господином, который два месяца назад подписал по этому делу контракт, номер которого я забыл… Но это был не господин, это была дама, и это было не два месяца назад, это был прошлый февраль. Больше никто не говорил об этой волшебной машине. Как же может случиться, что молодые люди не имеют никакого здравого смысла в информатике, так что можно без опаски предсказывать самые фантастические и самые неправдоподобные вещи, не вызывая ни смеха, ни краски стыда. «Мы подготовим 100000 преподавателей за пять лет…» Но это — совсем другая история, как говорил Киплинг.

Вернемся-ка к шахматам. Речи нет о лом, чтобы вы ими занялись; это выше понимания любителя, даже самого талантливого. Но я хочу предложить вам нечто, что все же имеет какое-то отношение к шахматам и одновременно может позволить упражняться в постановке пьесы.

Я представляю шахматную доску на рис. 15 как на экране своего микрокомпьютера в виде квадратной таблицы с 64 полями, которые представлены точками. На шахматной доске в левом верхнем углу расположена черная ладья (помеченная крестом), а в нижнем правом углу — белая ладья (помеченная звездочкой). Тринадцать шашек, помеченных маленькими кружочками, случайным образом расположены на игровом поле. Компьютер перемещает черную ладью ?, а вы — белую ладью *. Каждый игрок на своем ходе передвигает ладью, как при игре в шахматы; только на поля на той же строке или в том же столбце. Можно взять шашку и встать на место, которое она занимала; тогда эта шашка выходит из игры. Можно, взять противоположную ладью, если оказывается возможным попасть на занимаемое ею место. Тогда игра останавливается, и тот, кто взял чужую ладью, и есть победитель. В противном случае игра останавливается, когда больше шашек нет. Тот, кто взял больше шашек, и есть победитель.

Вам необходимо указывать компьютеру, какой именно ход вы хотите сделать. Вы можете, например, отметить строки цифрами, а столбцы — буквами, как на рисунке. Ваш первый ход будет, без сомнения, на H2 или B1…

Стратегия совершенно не очевидна. У вас много возможностей. Не так много, конечно, как в шахматной игре, но достаточно для того, чтобы вам пришлось заняться всерьез, что бы написать программу, которую было бы трудно побить.

Если вы при этом достигли совершенства, почему бы не попробовать ее вариант, который не должен вызывать намного больше затруднений (???): та же задача, но ладьи заменены конями.

*** Игра 26. Могущественная четверка.

Эта игра продается на рынке в другой форме. Она происходит в прямоугольном пространстве с 5 строками и 7 столбцами. Игра ориентирована, у нее есть низ и верх. Игровые позиции суть наинизшие свободные места в каждом столбце. Каждый игрок на своем ходе помещает свой отличительный знак на одно из игровых полей: например, один ставит крестики (+), другой — нолики (0). Первый, кто поставит на одной линии четыре принадлежащих ему знака — либо горизонтально, либо вертикально, либо по диагонали — выигрывает. На рис. 16 будем считать, что нолики при игре ставит тот игрок, чей ход именно сейчас. Если он не сыграет немедленно в пятом столбце, то его противник выиграет следующим ходом. По диагонали, начинающейся у основания четвертого столбца и идущей влево и вверх, есть три нолика, но единственное игровое поле в первом столбце обозначено точкой, и немедленно реализовать продолжение линии поэтому нельзя. Очевидно, что его противник не имеет никакого желания служить ему подставкой при пополнении первого столбца вместо того, чтобы заниматься разыгрыванием мест, допускающих продолжение линии…

Эту игру, производную от вошек, программировать намного проще, потому что всего полей только 35, и только 7 из них являются игровыми полями на каждом ходе. Это существенно ограничивает работу. В реализованной мною версии ответ микрокомпьютера практически мгновенный (порядка секунды). Я не думаю, что я располагаю программой-чемпионом, я не очень хорошо знаком с атим родом игр…

Я объединил в этой главе несколько игр, которые можно найти на рынке и для которых существует стратегия решения. Как только она становится известной, игра теряет всякий интерес. Единственное связанное с такими играми удовольствие — обнаружить, как с ними покончить. Поэтому напишите программу — это наилучший способ сформулировать выигрышную стратегию, а затем забудьте игру, она вам больше ничего не принесет. И тем хуже, если продавцы этих игр не согласятся со мной… Некоторые из этих игр являются классическими среди информатиков. Я попытался их немного подновить. Многие стратегии могут быть элегантно запрограммированы с помощью рекурсивных процедур, но на языке Бейсик это невозможно. Всегда наступает день, когда фанатики этого языка, такого удобного для первых шагов, начинают понимать его ограниченность… Рекурсивность допустима в языках LSE и Паскаль.

? Игра 27. Бездельник.

Эта игра на рынке есть. Она имеет вид дощечки, в которую продето n гвоздей, скользящих через соответствующее отверстие, причем концы гвоздей расплющены и в каждом просверлено отверстие, в которое продето кольцо. Вы безусловно можете изготовить все это сами, используя достаточно толстые гвозди (диаметром порядка четырех миллиметров). Пропустите гвоздь в отверстие в 5 миллиметров в дощечке, а затем расплющите острие молотком. Просверлите головку наконечника, образовавшуюся у конца гвоздя, и вставьте туда кольцо для ключей. Каждое кольцо должно проходить вокруг предыдущего гвоздя. Трудность игры зависит от n. Для n = 6 она довольно быстро приходит к концу. Для n = 8 она требуем долгих минут. Она почти невыполнима, если n больше восьми.

Через кольца проходит челнок, длинный замкнутый контур, представленный на рисунке. Дело в том, чтобы его вынуть и, таким образом, освободить от колец (рис. 17).

Первое, что нужно сделать — это научиться, как пропускать одно кольцо через челнок, или как его оттуда вынуть. Несколько манипуляций — и вы быстро убеждаетесь, что в какой стадии ни была бы игра, всегда можно надеть или снять первое кольцо, которое свободно (не проходит вокруг какого-либо гвоздя). Можно также освободить кольцо, которое следует за первым занятым кольцом (если оно проходит вокруг челнока), или одеть его на челнок, если оно не одето. Таким образом, игру «бездельник» можно заменить равносильной игрой, которую легче представить на компьютере.

Эта игра ведется на таблице, разделенной на несколько полей (8 полей на рисунке). В начальном состоянии каждое поле покрыто шашкой. Поля размечены цифрами. Играть на данном поле — значит, поставить туда шашку, если поле пусто, и удалить шашку, стоящую на этом поле — в противоположном случае. Правила игры следующие:

— можно всегда играть на первом поле,

— можно играть на поле, которое следует за первым занятым полем.

Есть две возможных игры:

НАДЕВАТЬ: игровое поле вначале пусто. Заполнить все поля.

СНИМАТЬ: игровое поле вначале наполнено шашками на каждой клетке. Нужно все убрать,

Эта задача имеет очень элегантное рекурсивное решение. Но если вы немного подумаете, то вы сможете также найти очень простое итеративное решение, причем игра НАДЕВАТЬ оказывается более простой, чем игра СНИМАТЬ.

Вот другая интерпретация этой игры — для тех, кто любит арифметику. Вы можете считать, что каждое поле может принимать два состояния (свободное и занятое), что эквивалентно двоичным числам — например, 0 для свободного и 1 для занятого полей. Тогда каждая конфигурация является представлением целого числа по основанию 2. Таким образом, рис. 18 представляет целое число 11111111 в качестве начального состояния и 01011011 в качестве промежуточного состояния. Ниже нам будет удобно читать эти слова в обратном порядке, так что в этих новых обозначениях промежуточное состояние соответствует двоичному числу 11011010.

Ясно, что эта игра порождает последовательность чисел (в приведенном выше примере число равно 218 в десятичной записи). При переходе от одного числа к следующему меняется лишь одна двоичная цифра. Можете ли вы сказать, какая последовательность порождается таким образом в каждой из игр?

?* Игра 28. Зануда,

Эта игра называется также «игра в лягушек». У нее была версия, использованная в материалах лицеев, но в ней было не все, что я вам сейчас предлагаю. Игровое поле снова имеет вид прямоугольной площадки, разделенной на поля. Число полей должно быть нечетным (9 на рис. 19). Поля слева покрыты шашками некоторого цвета (я представил их ноликами), поля справа — шашками другого цвета (здесь — крестиками). Среднее поле свободно. Крестики могут передвигаться только влево, нолики — только вправо. Шашка может быть либо подвинута на один шаг, если следующее поле в направлении ее перемещения свободно, либо перепрыгнуть через шашку другого рода, если следующее за ней поле свободно. Рисунок 20 иллюстрирует два возможных хода в партии с начальным положением на рис. 19.

Цель игры состоит в том, чтобы привести все X влево, а все 0 вправо, так что конечное состояние должно быть похоже на начальное, и шашки должны поменяться местами (крестики справа, нолики слева).

Программа, которую вы должны составить, должна описывать последовательность перемещений шашек для произвольного (но, конечно, нечетного) числа полей. Вы можете получить решение в виде пары рекурсивных процедур или в виде одной итеративной программы. Как только вы найдёте стратегию, зануда не будет больше представлять никакого интереса. Как это случилось с теми, с кем я занимался на Митра 15, в лицее, требуя, чтобы игрок сидел за своей клавиатурой и переставлял шашки. Но если не знать стратегии и действовать случайным образом, то выиграть нельзя вследствие теоремы Дюнойе: «Если какой-то выбор вы делаете случайным образом, то вы всегда проигрываете». Это нам постоянно повторял наш учитель математики, когда я был в подготовительном классе Политехнической школы. Мы придумали следствие: поскольку мы всегда проигрываем при случайном выборе, то достаточно после этого выбора выбрать другую сторону альтернативы. Но это дает выход из парадокса Дюнойе (я совершенно не знаю, кто такой Дюнойе. Это — существенный момент истории науки, который следовало бы прояснить. Всегда цитируют Мэрфи и его знаменитые законы: если в некотором опыте что-то может разладиться, то можно быть уверенным, что это обязательно произойдет. Если, кроме того, при этом в комнате есть посторонний наблюдатель, то он прибавит «ну, я же так и говорил…». Дюнойе — предшественник Мэрфи), Вот в чем парадокс. Есть альтернатива. Вы выбрали случайным образом и обманулись. Следовательно, если вы взяли другую сторону альтернативы, то вы оказались правы. Но это — тоже случайный выбор, поэтому вы опять обманулись…

?* Игра 29. Б — А — БА.

Эта игра вовсе не потому самая простая среди всех игр этого сорта, что она называется б—а—ба. Согласно [BAL], она имеет японское происхождение. Ее можно сформулировать следующим образом. Игра разыгрывается на площадке, разделенной на клетки, на этот раз в четном числе. Есть шашки двух сортов, скажем, крестики и нолики — как в «зануде». В начале игры два левых поля свободны, остальные заняты поочередно 0 и X, как указано на рис. 21. При каждом ходе вы можете переместить пару смежных шашек, перенося ее на пару смежных свободных клеток. Вы выиграете, когда все X будут вместе стоять на левых полях, затем будут нолики, а два правых поля останутся свободными.

Можно также представить это другим способом. Свободные поля представляются точками (рис. 22), остальные заняты буквами а и б (вот вам и б — а — ба).

Пара шашек, которая переносится при данном ходе, абсолютно произвольна: две одинаковых буквы, две разных буквы, все равно в каком порядке…

Начните с решения задачи для 8 букв и 10 полей, как на рисунке. Это очень просто и у вас нет необходимости » компьютере. Попробуйте затем решить ее для бо?льшего числа полей.

Честно говоря, я соответствующую программу не написал, потому что ее использование на компьютере меня ничему новому не научило бы. То, что здесь приведено, подходит программисту, который на что-то рассчитывает. Если у вас есть склонность к программированию, то вы найдете способ решить задачу для всех случаев,

* Игра 30. Отшельник.

Может быть, мне и не следовало бы помещать «Отшельника» в эту главу, Классификация игр полностью основана на оттенках и на индивидуальных оценках. Я провел немало времени в забавах с «Отшельником», но все же верно, что едва только удается обнаружить хорошую стратегию, как интерес уменьшается. Возможность его программирования связана с улучшениями. «Отшельник» разыгрывается на площадке с проделанными в ней отверстиями, в которых могут быть размещены шашки. Но можно также использовать доску, на которой нарисованы поля, а можно также все это очень хорошо нарисовать на земле и использовать камешки в качестве шашек — точно так же, как я рассказывал при игре в лис и кур. Впрочем, может оказаться, что «отшельник» был изобретен каким-нибудь знатным французом, заключенным в Бастилию, который модифицировал игру в лиси кур.

Рисунок 23 представляет одно из состояний игры в «Отшельника». Свободные места представлены точками, шашки — знаком ?. Как показывает название, это — игра для одного-единственного лица. При каждом ходе нужно съесть шашку, заставляя перепрыгнуть через нее другую шашку так, чтобы попасть на свободное поле — либо горизонтально, либо вертикально. Так, на рис. 23 имеется 4 возможных хода:

— шашка, лежащая на пересечении планок креста, может ваять шашку, расположенную непосредственно над ней, и попасть в середину верхней строки (шашка, через которую перепрыгнули, а именно, расположенная в вершине креста, удаляется из игры);

— та же шашка может взять шашку слева;

— или шашку справа;

— наконец, шашка в центре игрового поля может взять шашку под ней, расположенную в низу креста.

Цель игры состоит в том, чтобы удалить все шашки, кроме одной. Число необходимых для этого ходов легко подсчитать: поскольку при каждом ходе берется одна шашка, то число ходов равно числу подлежащих удалению шашек. В случае креста на рис. 23 вам осталось сделать до конца еще 5 ходов.

Составьте программу для отшельника. Вы даете компьютеру начальную конфигурацию, например крест на рис. 23. Он сообщает вам ходы, которые приводят к решению.

Другие конфигурации приведены на рис. 24.

В своей наиболее общей форме эта игра начинается с игрового доля, полностью покрытого шашками, кроме единственного остающегося свободным поля. Попробуйте заставить вашу программу работать и в этом случае. У вас появится новая трудность, связанная с симметрией игры: есть много решений, эквивалентных с точностью до симметрии.

На рис. 25 сначала изображена исходная конфигурация. Есть 4 различных хода — шашка из перекладины креста прыгает в центр игрового поля. Эти 4 хода начинают 4 решения, эквивалентных с точностью до поворота на прямые углы. После этого остаются еще две возможности эквивалентности с помощью симметрии относительно вертикальной оси игры. Нижняя конфигурация показывает результат одного из этих ходов.

В позиции, к которой мы пришли, никакой симметрии уже нет. Ее-то и возьмите как исходную.

Ваша программа дает только одно решение или все возможные решения?

Очень мало говорят о печальном конце Паскаля Младшего. Его бывшие коллеги знали, что у него возникли проблемы, заставившие поместить его в психиатрический госпиталь. Теперь когда он умер, я могу опубликовать письмо, которое он мне послал в свое время; оно уже больше не может причинить ему вреда…

«Господин профессор,

Я не знаю, помните ли вы меня: я был вашим учеником в Институте программирования. Конечно, у вас их столько было… После того, как я окончил институт, я поступил на работу программистом-аналитиком в бюро обслуживания. Я был на очень хорошем счету. Я следовал вашим урокам: использовал программирование «сверху-вниз», я выводил свои циклы в программах, используя пост- и предусловия и инварианты. Мои программы работали верно с первого запуска, с точностью до опечаток. Короче, по прошествии нескольких лет я сказал себе, что у меня будет более интересная работа, если я буду вести ее на свой собственный счет. Поэтому я нее подготовил, нашел помещение. Я подал в отставку и взял все отложенные отгулы, на которые я имел право. Будучи холостым, я, вообще говоря, брал очень мало выходных дней, настолько меня захватывала моя работа. Но, собираясь испытать счастья в большом деле и становясь своим собственным работодателем, я хотел получить настоящий отдых.

Право, я не знаю, как это меня по рекламному объявлению занесло в бюро путешествий «Посетите таинственную Индию». И вот я отправился с тремя десятками других в организованное путешествие. Конечно, я должен был задуматься раньше, то ли я выбрал, что мне нужно. Оказалось, что я с трудом переношу беспрерывную болтовню то одних, то других; это мешало мне думать о чем-нибудь своем. Мне пришлось примириться с тем, что мне придется думать о чем-то еще, кроме написания какой-то упирающейся программы! Детали этого путешествия несущественны вплоть до дня, когда нас привезли в монастырь в предгорьях Гималаев.

Монах, который нас принял, говорил на отличном французском. Сообщение, которое он сделал о монастыре, свидетельствовало о свободном владении нашим языком. Это должно было показаться мне подозрительным. Он ввел нас в помещение и, с того момента как я вошел, я смог только выдавить «ох» изумления: мы увидели монаха, который занимался знаменитейшей игрой в Ханойские башни. Диски были, очевидно, из золота, и я сразу угадал, даже не считая, их ровно 50. Монах объяснял игру посетителям:

«Как вы видите, игра состоит из круглой подставки с тремя стержнями. На стержни нанизаны диски различных диаметров. (Рис. 26 представляет конфигурацию игры с семью дисками.) На каждом стержне диски сложены, в стопку по возрастанию диаметра: никогда ни один диск не кладется на другой диск меньшего диаметра, В начале игры, это было много лет назад, даже много веков, все пятьдесят дисков находились на первом стержне. Монах перекладывает эти диски один за другим, следуя методу, который мы тщательно продумали. Когда все диски соберутся снова на одном стержне, отличающемся от исходного, игра кончится. Великий труд, который боги наложили на людей, будет завершен, и сможет наступить конец света…»

Я решил насмешливо добавить вполголоса: ну, это еще не завтра… Это стоило мне разгневанного взгляда гида, который продолжал:

«Как только что заметил один из вас, это занятие потребует еще многих столетий, несмотря на большую сноровку монахов, которые перекладывают каждый диск приблизительно за одну секунду». Я снова продемонстрировал свое раздражение, Разумеется, я предполагал, что из-за меня посещение будет сокращено. Но не для того же я сюда приехал, чтобы надо мной, как и над остальными путешественниками, насмехались? Мы хорошо знаем, что игра в ханойские башни была изобретена в конце прошлого века преподавателем математики в лицее Сент- Луи по имени Люка, который под этим соусом ее и пустил в свет, окружив легендой, согласно которой монахи где-то в Индии суетятся вокруг игры в 50 дисков, по окончании которой наступит конец света. Эта легенда делала естественной задачу о подсчете числа ходов, Необходимых для завершения игры. Что же касается того, что каждый диск перекладывается за секунду, то это элементарно, и мы знаем итеративную стратегию, которая позволяет нам просто играть, ни о чем не думая — вы ее нам сами давали в вашем курсе в институте…

Когда мы покидали монастырь, наш гид подошел ко мне и спросил меня, не хочу ли я оказать его настоятелю большую честь своим посещением. Обсуждение с руководителем группы. Назавтра мы не должны были уезжать рано, и поэтому я принял приглашение снова прийти туда до нашего отъезда. Настоятель принял меня очень любезно и предвосхитил мои упреки: «Несомненно, вы уже знакомы с башнями Брахмы. Мы знаем, что они были введены во Франции много лет назад М. Люка. Он никогда не говорил, что он сам придумал эту игру. Совсем наоборот, он очень добросовестно изложил то, что мы делаем. И разве мы виноваты в том, что вы вбили себе в голову, что с его стороны это была чистейшая уловка, чтобы придать больший блеск своему мнимому открытию? А это была и в самом деле чистейшая уловка, потому что ему приписали создание этой игры, в то время как он всего лишь пересказал то, что ему описал один путешественник… Нас тревожит то невероятное время, которое нужно для окончания игры. Мы очень терпеливы, однако мы ищем, как двигаться быстрее. Один наш посетитель, приехавший из американского университета, предложил нам сконструировать робота-манипулятора, управляемого компьютером. Мы со своей стороны финансировали это исследование. Но робот не мог двигаться быстрее, чем наши монахи, натренированные до совершенства и действовавшие безошибочно». Когда же я высказал замечание, что при таком решении проблемы игру будут вести уже не люди, а машина, настоятель решительно возразил мне, сказав: «Мы прекрасно пользуемся молитвенными мельницами. Во всяком случае, машина делается людьми и управляется программой, написанной людьми…»

Он также сказал мне, каким образом это исследование к тому же открывает новые перспективы. Были времена, когда монахи пытались присоединить к игре четвертый стержень. Правила оставались такими же: перемещать за один раз не более одного диска и никогда не класть диск на другой диск меньшего диаметра. Конечно, манипуляция игрой с 50 дисками до сих пор не удалась. Они вывели, что при этом требуется гораздо меньше ходов, но стратегия манипулирования становится много сложнее. Монахи терялись, часто оказывалось, что они ошибаются, они снова попадали в уже пройденные конфигурации, так что не было никакой уверенности в том, что удастся дойти до конца, если постоянно приходится начинать сначала… «Не могли бы вы взяться за решение проблемы башен Брамы с четырьмя стержнями, составить программу для соответствующего компьютера и использовать его для управления роботом, манипулирующим игрой? Ведь даже если каждый ход отнимет много секунд, конец должен будет наступить намного быстрее. А нам, таким образом, выпадет величайшая радость — стать теми, кто выполнил волю богов. Мы увидим, что мир достиг своего конца, и вступим в счастье, которое никогда не кончится…»

Это дело показалось мне выполнимым, Договорились, что я реализую информативную систему и передам ее им. Настоятель вручил мне в качестве оплаты авансом игру, сделанную из серебра. Это было настоящее богатство. Ну, как тут устоять?

Вернувшись во Францию, я взялся за работу. Больших трудностей она не представляла. Вначале я составил рекурсивную процедуру для решения игры с четырьмя стержнями. Поскольку я искал оптимальную стратегию, я сделал по ней итеративную версию. Для этой маленькой программы был достаточен микрокомпьютер. Я использовал ручной манипулятор, оснащенной электромагнитом в форме кольца. Я работал с деревянной игрой, каждый диск которой был снабжен маленьким кольцом из мягкого железа, позволявшим ручному манипулятору брать его, и притом не возникало необходимости чрезвычайно точно этот диск устанавливать.

И я был всем очень доволен, пока не понял внезапно, что я без раздумий бросился в ужасное предприятие. А что, если монахи говорили правду? Какую пользу мне принесет обладание богатством (ибо они должны были заплатить мне еще, если программа будет работать правильно), если вскоре наступит конец света? Безусловно, будучи убежденным рационалистом, я не очень-то всерьез принимал их истории. Но, в конце концов, это — новая форма пари Паскаля[15]. Даже если шанс, что все это верно, бесконечно мал, я не испытывал ни малейшего желания ускорять конец света. Но прошлое вернуть нельзя, и их плату я уже получил,

Мне пришла в голову поистине дьявольская мысль: эти прекрасные монахи желали конца света, чтобы как можно скорее достичь вечного счастья, вот уж я его им обеспечу, В корпус компьютера я добавил выдвижной ящик, который окрестил «концом света». В нем были под видом блока питания толстые цилиндры, на корпусах которых была маркировка конденсаторов, но в которых находились пластиковые бомбы. Маленькое изменение программы должно было вызвать взрыв сразу же после того, как наименьший диск покидал свой стержень и перед тем, как он достигал места своего назначения. Таким образом, игра никогда не должна была кончиться. Что до монахов, то они будут с восторгом представлять себе конец света в тот момент, когда завершится игра. В тот момент чудовищность моего поступка меня не шокировала. Наоборот, я был в восторге: монахи будут счастливы, а я уберегу весь мир от конца. Я дошел до того, что смотрел на себя как на благодетеля человечества. Конечно, я брал на себя риск. Программу, без сомнения, нужно было испытать. Но, как я вам уже говорил, я прошел хорошую школу — Вашу школу — и я программировал правильно.

Когда все было закончено, я отправился вручить свое произведение сияющим монахам. Она была испытана на игре в 20 дисков. Затем аппарат был пущен в работу для игры с 50 дисками и 4 стержнями. Тут я попросил у монахов разрешения удалиться: ведь мне хотелось бы привести свои дела в порядок в то небольшое время, которое осталось нам жить, что они очень хорошо понимали. Я вое Братался с полными пригоршнями золота.

Через некоторое время сообщили, что ужасный взрыв неизвестного происхождения разрушил монастырь в Индии. В живых не осталось никого. Моя программа была правильной…

Уже позже меня стали одолевать сомнения. Не были ли монахи правы? Не я ли тот, кто помешал воле богов? Не воспрепятствовал ли я выполнению работы, которая была доверена людям? Не должен ли я сконструировать игру в 50 дисков, и не следует ли ее разыграть, чтобы искупить свою вину?

С этих пор я живу в ужасе. Если я ничего не делаю, я несу на себе груз того, что я препятствую воле богов. Если я сделаю игру, что для меня не составляет никакого труда, то именно я и приведу мир к гибели… Я никому не могу довериться. Я умоляю вас, помогите мне…»

Я не стал вмешиваться. Душа Паскаля Младшего не могла сопротивляться этому удару. Он впал в безумие и немного спустя умер…

Игра 31. Рекурсивная форма.

Письмо Паскаля Младшего ставит много задач по программированию. Я не осмеливаюсь предложить вам написать рекурсивную процедуру, которая перечисляет последовательность движений дисков в игре с тремя стержнями, помеченными номерами 0, 1 и 2 (например, в форме последовательности строк ДИСК 2 ИДЕТ С 1 НА 0, дающих номер перемещаемого диска, если наименьший диск имеет номер 1, номер стержня, с которого диск снимается, и номер стержня, на котором этот диск оказывается).

Тем не менее эта процедура была бы для вас очень полезна как для наблюдения за перемещениями в течение партии, так и для изучения свойств игры.

Можете ли вы вычислить число f(n) ходов, необходимое для проведения партии в игре с n дисками? Сколько веков потребуется для проведения игры в 50 дисков, если каждый ход делается за секунду?

Я использовал игру из дерева, в которой диски были обтесаны из двух разных пород дерева, поочередно светлых и темных. Проводя игру, можно убедиться, что два диска одного и того же цвета никогда не оказываются друг на друге. Сумеете ли вы показать это с помощью рассуждения, основанного на рекурсивной процедуре? Заметьте, что это сводится к вопросу четности. Если диски занумерованы так, как это было описано выше, то диски с номерами одинаковой четности никогда не попадают друг на друга.

* Игра 32. Рисунок игры.

Напишите простую рекурсивную процедуру, наиболее образно дающую возможность увидеть движение дисков. Очень общий способ состоит в том, чтобы изобразить три стержня в виде трех строк, на которых последовательно поставлены номера дисков. Таким образом, рис. 27 представляет начальное состояние и промежуточное состояние игры с 5 дисками.

Внимание: ваша программа работает слишком быстро, и вы не видите перемещений. Вставьте цикл ожидания, чтобы замедлить игру…

Более хитрый способ представляет стержни вертикально либо как последовательность номеров, либо — что еще лучше — если у вас есть графическая система, стилизованным образом, как на рис. 26. Это труднее…

? Игра 33. Итеративная стратегия.

Таких стратегий много. Сумеете ли вы предложить такую, которая позволила бы играть по ходу в. секунду, как у монахов…

??? Игра 34. Игра с 4 стержнями.

Составьте рекурсивную программу для игры с 4 стержнями, не занимаясь представлением дисков на экране каким-либо хитрым образом. Вам и бее этого будет достаточно работы. Даже если ваш компьютер не предоставляет вам возможности вычислять рекурсивные процедуры, это поможет вам ясно увидеть задачу и найти стратегию.

Найдите способ действовать, минимизируя число ходов, и найдите их необходимое число для малых значений n. Из письма Паскаля Младшего неясно, сколько времени нужно — если каждый ход совершается за секунду — для завершения игры с 4 стержнями и 50 дисками. Вычислите его.

??** Игра 35. Составьте итеративную программу для игры с 4 стержнями.

Если теперь добавить пятый стержень, то нужно все начинать сначала, или результаты, полученные для 4 стержней, допускают немедленную экстраполяцию на случай 5 стержней?

??? Игра 36. Спички Бергсона.

Эта игра была предложена выше (игра 23). Тогда требовалось только дать компьютеру указание, что он должен будет сделать, чтобы выиграть наверняка, если исходить из 50 спичек. Теперь нужно заглянуть глубже и изучить выигрывающую стратегию в полной общности.

Как и во многих играх, есть ситуации, которые позволяют игроку выиграть наверняка (если он их знает), и другие ситуации, исходя из которых выиграть невозможно. Пусть П обозначает ситуацию, благоприятную первому игроку (или предыдущему. П — это первая буква слова «позитивный», как это заметил Роуэ Болл [BAL]). Эта ситуация хороша для меня, если это такая ситуация, которой я достигаю после своего хода. Ситуация Н благоприятна второму, «новому», игроку (неблагоприятна первому, негативна). Она хороша для меня, если это — та ситуация, которую я застаю в момент своей игры. Вся моя стратегия есть переход от ситуации Н в ситуацию П.

Это все работает, если, исходя из ситуации Н, я всегда могу достичь ситуации П с помощью разрешенного хода, и если, с другой стороны, налицо ситуация П, то я не могу достичь никакой ситуации П с помощью дозволенного мне хода. Итак:

— из ситуации Н всегда можно достичь ситуации П,

— из ситуации П можно достичь только ситуаций Н,

— выигрывающая ситуация есть ситуация П.

Игра происходит переходами между ситуациями Н и П. Победитель определяется природой — принадлежностью классу Н или П — начальной ситуации и, таким образом, определяется тем, кто начинает.

В игре в спички Бергсона ситуация характеризуется двумя целыми числами p, q:

p — число спичек, оставшихся в куче;

q — число спичек, взятых на предыдущем шаге. Тогда можно взять от 1 до 2q спичек.

Ситуация 0, q — выигрывающая для любого q.

Ситуации 1, q и 2, q суть ситуации Н. Исходя из них,_; можно взять последнюю спичку. Ситуация 3, 1 есть П: исходя из нее, нельзя получить ничего, кроме 2, 1 и 1, 2, и обе эти ситуации относятся к классу Н.

Составьте программу, перечисляющую положения П вплоть до некоторого уровня.

Понаблюдайте за результатами. Попытайтесь угнать их свойства и, если вам хватит смелости, проверить их.

Вы наверняка знаете числа Фибоначчи: они определяются рекуррентным соотношением

f(n) = f(n ? 1) + f(n ? 2)

и единичными значениями двух первых чисел. Какой черт их сюда занес…

Я объединил здесь различные головоломки, решение которых для компьютера в принципе нетрудно. Есть конечное число возможных случаев. Мы испытываем их все и выбираем наилучший. К этой категории относится и чемпион мира по шахматам: конечное число шахматных фигур, конечное число правил, конечное число ходов…

Но, конечно, есть препятствие — это число опытов, которые нужно провести. Прежде всего нужно хорошо организоваться, чтобы некоторых попыток и не предпринимать. Нужно выбрать также путь, который предоставляет наиболее возможные шансы дойти до конца, и не вступать на такой путь, который не дает ничего, кроме неудач. В этом — все искусство программирования.

Головоломка 20. Восемь ферзей.

Возьмите на заметку: это самая простая головоломка подобного типа. Поставить на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы они друг другу не угрожали. Ферзь может взять все, что находится в этой же строке, что и он, в том же столбце или на той же диагонали. Представим, как обычно, шахматную доску квадратной таблицей полей, среди которых свободные поля помечены точками, а ферзи помечены крестиками (?).

На рис. 28 представлены две попытки решения. На левой доске поставлены 4 ферзя. Все поля строки 6 ими уже блокированы. Продолжать дальше бесполезно. На правой доске мы сумели поставить 7 ферзей, но восьмая строка блокирована.

Я обратил ваше внимание на эту задачу, поскольку ее решения всюду приведены. Ее можно в высшей степени элегантным образом решить с помощью рекурсивной процедуры. Но нетрудно дать решение и в итеративной форме,

Деликатный вопрос связан с представлением шахматной доски. Но и возможности этого выбора также обсуждаются в известных книгах.. Что же тогда остается найти?

Если у вас нет этих книг, то остается найти решение. Нет — решения, поскольку их 92. Но не все они существенно различны, так как шахматная доска обладает симметриями.

Поэтому пытайтесь искать только основные решения, исходя ив которых и используя симметрии шахматной доски, можно найти все остальные решения…

В этом примере вам не следует бояться сложности. Даже самые плохие программы будут все еще достаточно быстры…

?** Головоломка 21. X ферзей.

Поставить на шахматной доске 8 ферзей так, чтобы они друг другу не угрожали, можно. Но трудности, с которыми мы встретились при попытке достичь решения без помощи компьютера, ясно показывают, что нет необходимости в 8 ферзях, чтобы блокировать всю шахматную доску.

Каково наименьшее число ферзей, необходимых для блокирования шахматной доски, так, чтобы не было возможности поставить ни одной фигуры ни на одно поле, чтобы один из уже стоящих ферзей не мог эту фигуру взять?

Так как я вам не задал x, то вам нужно пытаться заставить x либо расти, либо уменьшаться. Впрочем, в этой задаче наши дела идут хуже, чем с 8 ферзями. В предыдущей задаче мы знали, что в каждой строке и каждом столбце обязательно должен быть ферзь. Если ферзей меньше 8, то это уже неверно.

* Головоломка 22. Домино.

Маленькая прелестная головоломна, совсем не трудная. Она была предложена на испытании на проницательность на конкурсе организации АФСЕТ по программированию в 1981 году.

Берутся 7 костяшек из одного набора домино. Напомним, что эти шашки сделаны из двух частей, на каждой из которых либо ничего не написано (чистая сторона), либо очки в числе от 1 до 6,

Задача состоит в том, чтобы образовать из этих 7 костей все возможные цепи, состыковывая костяшки домино частями с равными количествами точек. Нет никакой уверенности, что такая цепь существует.

Не ведите себя так, как некоторые из соревнующихся на этом конкурсе. Я тогда входил в жюри. Мы должны были оценивать работы соревнующихся. Если бы я принимал решения единолично, я потребовал бы, чтобы мне были представлены тексты программ, и я бы судил по самим произведениям. Но другие члены жюри нашли более длинный и более сложный метод, Они приготовили специальные тесты. Они должны были быть испытаны на программах соревнующихся, и нужно было подсчитать число правильных ответов, чтобы расклассифицировать соревнующихся. Новое обсуждение: я выдвигаю оценку, что и один-единственный неверный ответ выражает ошибочность программы и, следовательно, выводит ее из конкурса. В конце концов было решено, что так и будем делать. Все программы, содержащие ошибку, будут рассматриваться как неверные, Если две команды получат одинаково верные ответы, то мы еще раз детально изучим полученные результаты, стараясь разгадать природу ошибки при переходе к данному тесту от уже удавшихся, чтобы отдать одному из них предпочтение. Вот нам и досталось: один ив соревнующихся, думая, что с удавшимися тестами это согласуется, пытался упростить программу для домино. Он сказал себе, что вне всякого сомнения, будут даны кости, из которых никаких цепей ставить нельзя. Его программа читала последовательность костей домино и сообщала НЕВОЗМОЖНО без каких-либо других вычислений. Если бы я не настаивал на своем так решительно, то он был бы не хуже других…

Не поступайте так. Эта задача при всем том нетрудная… Рис. 29 дает пример цепи.

* Головоломка 23. Последовательность 0—1—4—6.

Это головоломка, на которую я натолкнулся, работая над своей диссертацией на ученую степень по физике. Я занимался сетями антенн для радиоастрономии. Сеть антенн состоит из основания, на котором по одной линии размещены отдельные антенны, доставляющие информацию о наблюдаемых нами звездах. Каждая нара антенн дает информацию о некоторой величине, пропорциональной расстоянию между двумя антеннами этой пары. Нас интересуют значения этой величины, образующие арифметическую прогрессию. Таким образом, нужно было располагать антенны таким образом, чтобы расстояния между равными парами образовывали арифметическую прогрессию. Я предложил систему из 4 антенн, расположенных на прямой в точках с абсциссами 0 1 4 6.

Тогда получаемые из них 6 различных пар приводят к расстояниям между антеннами, пропорциональным следующим числам:

0—1 1

4—6 2

1—4 3

0—4 4

1—6 5

0—6 6

Можно сформулировать задачу по-другому. Нужно найти последовательность натуральных чисел a₁, a₂, …, a_n — последовательность, которую можно предполагать возрастающей — такую, чтобы попарные разности членов этой последовательности a_j ? a_i (j > i) были попарно различны и образовывали последовательность всех целых чисел от 1 до n(n ? 1)/2.

Это — еще и проблема трансформатора (см. рис. 30), Если включить во вторичную обмотку 4 выхода так, чтобы число витков между первым и другими выходами находилось в отношениях 1, 4 и 6, то можно получить 6 напряжений на выходе, образующих арифметическую прогрессию.

Опустим другие физические задачи, порождающие такие последовательности. Четырехчленная последовательность 0—1—4—6, по-видимому, является наибольшей последовательностью, обладающей свойством порождать последовательность первых целых чисел, не пропуская и не повторяя дважды ни одного из них, при попарном вычитании членов этой последовательности.

Так, для 5 целых можно образовать 10 разностей. Поэтому крайние члены должны быть a₁ = 0, a₅ = 10. Чтобы получить в виде разности 9 из двух членов последовательности, нужно, чтобы либо было a₂ = 1, и тогда a₅ ? a₂ = 9, либо a₄ = 9. Эти два решения легко получаются одно из другого операцией симметрии, Поэтому положим a₂ = 1.

К этому моменту мы получили уже a₁ = 0, a₂ = 1, a₅ = 10. Чтобы получить разность, равную 8, нужно взять

— либо a₃ = 2, но тогда разность, равная 1, получается дважды:

a₃ ? a₂ = a₂ ? a₁

— либо a₄ = 8,

— либо a₄ = 9, но тогда снова дублируется разность 1. Следовательно, a₁ = 0, a₂ = 1, a₄ = 8, a₅ = 10.

Достаточно теперь пересмотреть одно за другим возможные значения а₃ и удостовериться, что каждое ив них дублирует какую-то разность.

Для a₃, равного 2, дублируется разность 1:

3 2

4 4

5 5

6 2

7 1

Таким образом, нет последовательности из 5 целых, попарные разности которых порождают 10 первых натуральных чисел. Допустим теперь возможность повторений в последовательности разностей. Можно ли с помощью 5 членов породить — с помощью их разностей — 9 первых натуральных чисел?

Об этих последовательностях ничего не известно. Пусть дано число n членов последовательности; каково наибольшее число последовательных целых чисел, начиная с 1, которые можно получить с помощью попарных разностей членов последовательности?

Запрограммировать это не очень трудно. Но берегитесь чересчур долгих вычислений!

?** Головоломка 24. Прогулка королевы.

Нет, не в Булонском лесу, если говорить серьезно… Прогулки фигур на шахматной доске — классический сюжет для головоломок. Эйлеровский конь должен обойти всю шахматную доску и вернуться на поле, с которого отправился в путь, не попадая дважды ни на одну клетку. Это настолько общеизвестно, что это уже и не головоломка. Но если вы не знаете решения, я не мешаю вам попробовать.

Случай «королевы» (ферзя) — немного другой. Эта фигура может перемещаться по горизонтали, по вертикали или по диагонали. Назовем «движением» перемещение на некоторое число полей в определенном направлении, Разрешается много раз проходить по одному и тому же полю. Но требуете пройти все поля эа наименьшее возможное число движений, причем, конечно, нужно вернуться на исходное поле. Так как число движений не дано, то не попытаетесь ли вы сначала проделать все вручную, чтобы угнать верхнюю границу…

???* Головоломка 25. Девушки ив пансиона Киркмана.

Пансион Киркмана — это колледж для девушек из высшего общества. Надзирательницей там — мисс Фармер. Каждую среду после полудня она сопровождает класс на прогулку. В своей нарядной униформе, в соломенных шляпках они медленно вышагивают по трое в три ряда. Мисс Фармер несговорчива: «Я не хочу маленьких компаний; вы должны располагаться так, чтобы не оказаться с той же подругой в вашем ряду до тех пор, пока вы не проведете этих прогулок со всеми остальными». На это наши девушки заявили, что поступать так очень трудно. Поэтому мисс Фармер решила сама организовать ряды. Для начала она веяла класс с 9 ученицами. Ей удалось быстро организовать ряды. У каждой ученицы было 8 подружек, и она должна была находиться с двумя новыми подружками каждую неделю, так что мисс Фармер предусмотрела цикл в 4 недели.

Затем мисс Фармер был поручен класс с 15 ученицами. Поэтому было необходимо ввести цикл в 7 недель для того, чтобы каждая ученица была за это время в одном ряду с 14 остальными. Тогда мисс Фармер поняла, в какое ужасное предприятие она оказалась вовлеченной.

Хотите ей помочь? Но заметьте: это вы сами пускаетесь в это ужасное предприятие. Всячески желаю, чтобы вашему микрокомпьютеру было больше нечего делать. Попытайтесь, если все предыдущее не будет отнимать долгие часы…

Эта задача принадлежит Т. П. Киркману и была впервые опубликована в Lady?s and Gentleman?s Diary за 1850 год. Для ее решения нужно пролить немало чернил, и вы можете рассмотреть значения, отличные от 9 и 15. Но выглядит вполне правдоподобным, что 15 — патологическое число, и Роуз Болл [BAL] предложил геометрический подход к решению, если число девочек не равно 15. Может быть, подход с точки зрения информатики позволит вам получить в этой задаче новые результаты…

*** Головоломка 26. Пентамино.

Домино, пентамино: очевидная игра слов, заставляющая перейти от шашек с двумя квадратами, к шашкам с 5 квадрата. Вот двенадцать возможных шашек, получаемых объединением 5 квадратов равной площади.

Все они приведены на рис. 31. Эти двенадцать шашек, каждая из которых имеет площадь 5, могут быть собраны в прямоугольник с площадью 60. Есть много решений для прямоугольника 6 ? 10, а также 5 ? 12. Меньше решений для прямоугольника 4 ? 15 и только два для прямоугольника 3 ? 20, если, конечно, не различать решения, отличающиеся только симметрией. Можете ли вы найти их за разумное время на вашем компьютере, проверив, что их действительно именно 2?

Есть много путей подхода к этой задаче, даже если все они действуют согласно одной и той же стратегии: перебрать все возможные попытки. Но есть ходы, которые ни к чему не могут привести. Вы не можете начать с того, чтобы поставить Т в левый нижний угол, как на рис. 32. Ни одна шашка не может замкнуть две заштрихованные области рядом с Т… Здесь есть необходимость и для хорошего представления позиций, но также и немного — для хитрости…

* Головоломка 27. Песенка почти спета.

Знаменитая игра Армана Жаммо уже была упомянута выше (игра 12). Но сейчас мы еще не описываем ее полностью; она довольно трудна для программирования. Вот другая форма, которую проще реализовать и которая еще не лишена интереса. Я верю также, что для любителей математических развлечений здесь есть что делать.

Возьмем случайным образом p двузначных чисел. Возьмем случайным образом также двузначное число s. Соединим эти p чисел между собой сложениями или вычитаниями. Все числа должны быть использованы. Можно ли таким образом получить число s?

При последовательных испытаниях компьютер будет работать быстро. Тогда вы можете попытаться увидеть, что происходит, когда мы заставляем меняться p. Если у вас мало чисел, то у вас и мало шансов получить Если вы берете много чисел (большое p), то, поскольку вы обязаны использовать их все, то у вас снова мало шансов прийти к цели. Мне кажется, что наиболее благоприятны значения p около 8 или 9. Но я не осмеливаюсь гарантировать этого полностью. Нужно быть уверенным в генераторе случайных чисел. Получаете ли вы тот же результат? Я не пытался получить его математическим рассуждением. Может быть, я и неправ. Если я действительно неправ, дайте мне знать об этом!

*** Головоломка 28. Песенка спета.

На этот раз дело идет именно об игре Армана Жаммо. Вам надлежит гадать вашему компьютеру шесть шашек, взятых среди 24; а именно, в набор входят:

по два раза — шашки от 1 до 10,

один раз — шашки 25, 50, 75, 100.

Затем вы задаете искомое число, скажем n, обязательно трехзначное. Требуется соединить значения шашек между собой с помощью четырех операций: сложения, вычитания, умножения и деления — чтобы получить число n. Не обязательно использовать все 6 шашек.

Если число n получить нельзя, то телевизионная игра допускает и числа, близкие к n, и тот, чье число ближе всего к n, и становится победителем.

Теоретически эта программа не должна быть трудной. Есть ограниченное число возможных комбинаций:

— есть 15 способов взять две шашки среди 6 и, самое большее, 4 способа соединить их между собой, следовательно, самое большое 60 комбинаций с двумя шашками. Но их уже гораздо больше для трех шашек. Испытать все комбинации за разумное время не представляется возможным.

Когда вы излагаете решение, вы берете две шашки из 6, соединяете их между собой одной из четырех операций (на самом деле можно считать, что только тремя, начинать с деления — это исключение). Есть 60 (или, скорее, 45) способов это сделать. После этого задача сводится к задаче с 5 шашками. При таком подходе решение кажется более достижимым.

Следовательно, попробуем. Самые большие упрощения возникают, если вы не ищете для данного числа приближенных значений. Компьютер выводит результат, если он его находит; в противном случае он сообщает, что он решения не нашел. Вы сами можете систематически проводить одну попытку за другой. Пусть p_i, p_j, p_k обозначают три из 6 шашек. Вы можете искать решение в виде

p_i * комбинация из 5 оставшихся шашек = n,

p_j + p_i * комбинация из 4 оставшихся шашек = n,

?p_j + p_i * комбинация из 4 оставшихся шашек = n,

±(p_j ? p_k) + p_i * комбинация из 3 оставшихся шашек = n,

где ? означает одну из четырех разрешенных операций. Удивительным образом все это очень быстро и очень часто приводит к точному ответу. Никто на запрещает вам попробовать что-то лучшее…

В соответствии с заглавием примера попытайтесь поэтому для 6 шашек 10, 10, 25, 50, 75, 100 найти 370, 369, 368…

В этом разделе я объединил различные задачи, среди которых далеко не все являются головоломками, по той причине, что опыт показывает: средний программист в них достигает цели не бее труда. Для некоторых из них в различных книгах можно найти многочисленные решения, не всегда правильные, или — во всяком случае — не всегда хорошие, или слишком плохо объясненные. Условия этих задач могут показаться мало привлекательными. Но если в программировании вы любите именно трудности, не поддавайтесь первому впечатлению.

* Головоломка 29. Дихотомический поиск.

Это — совершенно известная задача. Вам предлагается упорядоченная таблица попарно различных элементов; например, в порядке возрастания. Вам предлагается, кроме того, другой элемент: его нужно разместить в таблицу.

Следовало бы уточнить (хоть это и не в моих правилах: обычно я предоставляю вам заботу об уточнении. В этой книге вовсе не я тот человек, который должен аккуратно работать…). Пусть a — таблица с n элементами, упорядоченная так, что

a[i] < a[i + 1] для 1 < i ? n,

и x — элемент, который нужно разместить. Его место

0, если x ? a[1],

i, если a[i] < x ? a[i + 1],

n, если a[n] < x.

Один сотрудник факультета Нотр-Дам де ла Пэ в Намюре изучил 18 программ, опубликованных различными авторами по всему свету и в каждой нашел хоть что-то, за что можно упрекнуть. Всякий раз, когда я получаю новую книгу по программированию (к счастью, я получаю не все), я смотрю, нет ли там случайно исследования этой задачи. Почти во всех случаях это так. Настоящий «ослиный мост»[16] информатики…

* Головоломка 30. Равенство «с точностью до пробелов».

Пусть даны две буквенные цепочки: a и b. Составьте программу, которая может сказать, совпадают ли эти цепочки с точностью до пробелов. Внимание: вы не имеете права изменять цепочки a и b, вы не имеете права порождать новые цепочки. Это запрещает вам удалить пробелы из обеих цепочек или копировать их, удаляя пробелы. Под равенством с точностью до пробелов нужно понимать, что обе цепочки должны быть образованы одними и теми же буквами в одном и том же порядке, если не учитывать пробелы. Такая задача встречается в системах, связанных с практической работой, с программами, потому что пробелы чаще всего рассматриваются в операторах и командах как незначащие.

Если вы находите это совершенно элементарным, вы можете изучить, являются ли данные цепочки обращениями друг друга с точностью до пробелов. Вы можете также увидеть, является ли цепочка палиндромом (т. е. совпадает со своим обращением) с точностью до пробелов, Так, палиндромами являются

А РОЗА УПАЛА НА ЛАПУ АЗОРА

АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА

Попытайтесь получить правильную (это уж как минимум) и элегантную программу.

Головоломка 31. Анаграмма.

Еще одна головоломка, вопреки ее внешнему виду, Дело в том, чтобы сказать, являются ли две цепочки букв анаграммами друг друга (т. е. получаются ли они друг из друга перестановками букв). Эта задача имеет совершенно различный вид в зависимости от того, разрешите ли вы себе изменять обе цепочки или порождать новые цепочки, или нет. Выбор я предоставляю вам… Может быть, вы заметите, что различные решения следует оценивать в зависимости от соотношения между размерами цепочек и используемого алфавита. Подумайте о крайних случаях: алфавит из 26 букв и цепочка из 1000 символов; алфавит из 1000 символов (это вроде китайского…) и цепочка из 10 символов.

Головоломка 32. Анаграмма с точностью до пробелов.

Та же головоломка, но, кроме того, пробелы не считаются. Вы можете ее еще немного обобщить: являются ли две страницы текста анаграммами одна другой, не считая знаков препинания?

??* Головоломка 33. Переставить две части вектора.

Вам дана таблица a с n элементами. Требуется переставить части с номерами от 1 до m и от m + 1 до n (рис. 33).

Порядок элементов в каждой ив частой должен быть сохранен[17]. Вы не должны использовать вспомогательную таблицу, Каждый элемент должен быть перемещен не более одного раза.

Это — довольно любопытная задача, которая была предложена мне Давидом Грисом, и которую он исследовал в своей книге [GRI] Это — один из редких случаев, когда я не смог вывести программу из гипотезы рекуррентности, как я это обычно делал [ARS]. В данном случае я сначала придумал программу (ничего особенного, вы ее, конечно, прекрасно составите). И только после того — именно после того — я смог показать, почему эта программа работает правильно.

* Головоломка 34. Задача о равнинах.

Вам дается упорядоченная таблица каких-то элементов, например, телефонный справочник (где фамилии расположены в алфавитном порядке. Здесь мы не учитываем имен). В таблице могут встретиться омонимы (иначе говоря, последовательности из совпадающих элементов), как в телефонном справочнике. Требуется найти наиболее длинные омонимы: больше ли МАРТЫНОВых, чем СЕМЕНОВых?

Я использовал для этой головоломки название, данное ей в книге Давида Гриса [GRI]. Если вместо того, чтобы веять для иллюстрации таблицу фамилий, вы берете

таблицу чисел, расположенных в неубывающем порядке, то такая таблица составлена иэ участков возрастания, подъемов и ровных участков, «равнин». Тогда нужно найти наиболее длинную равнину.

Эта задача оказывается не вполне одной и той же в зависимости от того, ищете ли вы только наибольшую длину равнины (что делает Д. Грис) или ищете одновременно и длину ряда омонимов и сам наиболее часто встречающийся омоним (что предлагаю вам я).

G этой задачей связана неприятная для меня история. Я намеревался продумать эту задачу в Нанси также, впрочем, как и Давид Грис. Я довольно легко обнаружил два решения, различные по духу, но не по виду, что поставило передо мной задачи преобразования программ (каким образом различные отправные точки могут привести, с точностью до нескольких манипуляций, к одной и той же программе). Как и рассказывает в своей книге Давид Грис, я очень гордился своими решениями, пока не обнаружил в той же книге Д. Гриса решение, принадлежащее Майклу Гриффиту: его решение намного проще…

Сумеете ли вы найти простое решение?

??** Головоломка 35. Самая длинная возрастающая подпоследовательность.

Пусть дана таблица a из n каких-либо чисел (но если это может доставить вам удовольствие — из натуральных чисел. Это неважно). Подпоследовательность этой таблицы есть последовательность чисел, выделенная в порядке возрастания номеров. Более точно, последовательность

a[i₁] a[i₂] a[i₃] … a[i_p]

есть подпоследовательность последовательности а, если i₁ < i₂ < … < i_p. (Числа идут в одном и том же порядке в таблице a и в ее подпоследовательности, но эта формулировка двусмысленна.)

Последовательность возрастает[18], если, кроме того,

a[i₁] ? a[i₂] ? a[i₃] ? … ? a[i_p].

Требуется выделить из a самую длинную возрастающую подпоследовательность. Вы имеете право использовать вспомогательные векторы.

Можно найти исследование этой задачи в нескольких книгах и на нее изведено немало чернил (да и мела тоже: я видел ее исследования в трудах международных семинаров). Кроме того, совершенно не одно и то же — довольствуемся ли мы определением максимальной длины и даже последнего члена самой длинной возрастающей подпоследовательности последовательности a (внимание: может случиться, что есть много таких подпоследовательностей одинаковой длины) или же мы хотим получить также список членов такой максимальной последовательности.

Иногда в условие вводят дополнительное ограничение: число требуемых операций должно быть порядка n * In(n). Я не уверен, что это действительное ограничение. Если вы найдете решение, то оно, скорее всего, будет обладать этим свойством.

??** Головоломка 36. Самое длинное слово.

Заглавие вводит в заблуждение… Однажды мы проводили экзамен у наших учеников в DEUG по составлению программы, которая сообщает, скрыто ли данное слово в данной фразе, иначе говоря, встречаются ли буквы данного слова в том же порядке в данной фразе. Так, в следующей фразе (взятой из «Ярмарки у скупцов» Жана Шарля):

«Je peux te donner l?adresse d?un excellent cireur de parquets: il se rend a domicile»

слово TONDEUSE скрыто (соответствующие буквы подчеркнуты), но ни слово GAZON (нет буквы G), ни слово DOMINATEUR (все буквы есть, но в неправильном порядке) не содержатся.

Но это не головоломка, это совсем просто (уж это точно…). Я спрашиваю вас о другом — найти, какое слово наибольшей длины скрыто одновременно в двух фразах. На самом деле, конечно, речь идет не о слове, а скорее о последовательности букв: какая наиболее длинная последовательность букв может быть обнаружена в одном и том же порядке в двух фразах. Если это может вам помочь, то вот другой пример из «Ярмарки у скупцов»:

«А l?occasion du 14 juillet, les hommes remplaceront les cruches dans les chambres».

Моя Программа сообщает мне, что наиболее длинная последовательность букв, которая встречается одновременно в одном и том же порядке в обоих отрывках, это набор

JETEOERLARNLECREDASLSAME

Вы можете проверить, что эти буквы действительно встречаются в обеих фразах (во второй из них они подчеркнуты). Но вручную невозможно проверить, что этот набор — самый длинный из возможных. Если вы не можете доверять вашей программе, не пишите ее…

Если вы сожалеете, что я злоупотребил названием, которое напоминает совсем о другом, а именно, об игре Армана Жаммо: найти наиболее длинное слово, которое можно образовать из 9 данных букв, то я не запрещаю вам исследовать также и эту игру. Но тут я вижу два препятствия. Во-первых, с точки зрения процесса ее создания есть очень мало того, что требуется обнаружить или открыть (если не пришлось открывать какой-нибудь словарь Скраббля). Далее, нужно ввести в компьютер настоящий словарь, что предполагает большой объем хранения и чудовищный труд отстукивания по клавишам, совершенно лишенный интереса…

?*** Головоломка 37. Белый прямоугольник.

Ах, ах! Тут-то я вас и поймал. Вы немедленно вообразили себе какую-нибудь не поддающуюся пересказу историю… Такое в книгах по информатике бывает редко, но бывает [SIK]. В своем сочинении о языке ЛИСП Лоран Сиклосси должен был использовать многочисленные примеры буквенных цепочек, и все составленные им цепочки одна смешнее другой. Это и вдохновило меня на предыдущую головоломку. Я предложил своему издателю перевести сочинение Сиклосси, что не должно было быть таким уж трудным, поскольку автор использует французские фразы, чтобы блеснуть учтивостью (иначе он бы говорил это по-латыни). Но Сиклосси, который превосходно владеет французским языком — несмотря на то, что он профессор информатики в Соединенных Штатах, — захотел изменить примеры к французской версии книги, используя «акрофонические перестановки» — перестановки букв или слогов, создающие слова с новым значением… Издатель не согласился, и французская литература потеряла прекрасное сочинение о языке ЛИСП… Если вы читаете по-английски и если вы хотите выучить ЛИСП, почему вам нельзя развлекаться, учась?

Здесь речь идет совсем о другом. Эта задача была предложена как одна из четырех тем на конкурсе программирования в АФСЕТ несколько лет назад. Вам дана прямоугольная решетка для кроссворда. Найдите белый (т. е. не содержащий вычеркнутых черных клеток) прямоугольник наибольшей площади, вписанный в решетку (квадрат есть частный случай прямоугольника).

На рис. 34 есть прямоугольник площади 8 в левом нижнем углу и есть квадрат площади 9. Это — хороший ответ. Программа, которую вы должны составить, должна читать размеры сетки (число строк и столбцов), затем— координаты черных полей и, наконец, давать прямоугольник наибольшей площади, например, указанием координат двух противоположных вершин.

Для программистов на конкурсе АФСЕТ это не было легкой задачей. Она оказалась едва ли не наиболее трудной задачей, будучи единственной задачей, доставившей мне затруднения (см. головоломку 22, другое упражнение на том же конкурсе). Один из соревнующихся достиг цели, решительно пренебрегая эффективностью. Вы-то не очень ограничены временем (по крайней мере временем размышления или временем программирования). Попытайтесь составить программу, время вычисления которой не слишком быстро растет вместе с размером сетки.

Головоломка 38. Математическая композиция.

Ж.-К. Байиф [BAI], французский язык которого очень отточен, представил эту головоломку под названием «арифметическая композиция» в своей книге, из которой в ее и заимствую, Композиция состоит из четырех вопросов, связанных с вычислением площади. Один из вопросов относится к полной поверхности куба, сторона которого измеряется целым числом метров, Вот ответы учеников на различные вопросы:

(Это — величины площадей в квадратных метрах, предложенные учениками.) Преподаватель ставит 5 за верный ответ и 0 за неверный ответ. Один-единственный из учеников получил 0. Кто оказался первым? Вне всякого сомнения, вы можете сказать больше. Эта головоломка кажется мне особенно подходящей для ее решения на компьютере…

?? Головоломка 39. Другая головоломка Давида Гриса.

Пусть дан вектор, образованный n целыми числами. Подпоследовательностью этого вектора называется набор элементов, в котором индексы идут подряд. Найти подпоследовательность с максимальной суммой. Если вы предпочитаете другую формулировку, то найдите индексы i, j, для которых величина

a_i + a_i+1 + … + a_j?1 + a_j

максимальна. Внимание: время вычисления не должно расти намного быстрее, чем n, когда n увеличивается…

Эта головоломка до некоторой степени напоминает головоломку о возрастающих подпоследовательностях, но она гораздо менее сложна. Подумайте: линейная зависимость от n! Да ведь это, грубо говоря, означает, что каждый элемент вектора рассматривается только один раз. Вам следует составить цикл

ДЛЯ i := 1 ШАГ 1 ДО n ВЫПОЛНЯТЬ … ВЕРНУТЬСЯ

И никаких циклов в этом цикле! В ответе вы получаете искомые индексы. Озадачивающе, не так ли? Я потерял на это немало времени. И тем не менее, какое простое решение!

Как вы находите?

Примечания:

1

Я здесь совершаю плагиат по отношению к поговорке жителей плоскогорья Высоких Вивар, которая звучит так: кто сам пилит свои дрова, согревается дважды.

2

Строго говоря, эти рассуждения применимы к любой программе, написанной на любом языке, если только эта программа не использует никакой внешней информации в качестве исходных данных. В качестве такой внешней информации удобнее всего использовать что-нибудь связанное с временем: число изменений напряжения в сети с момента последнего включения вашего компьютера или число секунд с момента его покупки, если ваш компьютер снабжен внутренними энергозависимыми часами (на литиевой батарейке), и т. п. Обычно, на каком бы языке вы ни работали, у вас есть возможность прочесть показания внутренних часов компьютера (посмотрите в документации, как работать с таймером). — Примеч. ред.

3

См. предыдущую сноску. — Примеч. ред.

4

«Пришлите побольше денег.»

5

«Помогите молодому человеку.»

6

«Нужно, лекция, ученик.»

7

S — первая буква слова «somme» (фр. сумма), P — слова «produit» (фр. произведение). — Примеч. ред.

8

Да и от языка, который вы используете. — Примеч. ред.

9

Повторим эти рассуждения чуть более подробно. Пусть

a₁ = 2, a_i+1 = a_i? ? 1 mod n,

b₁ = 2, b_i+1 = b_i? mod s

— последовательности, соответствующие числам n и s соответственно. Тогда легко доказать по индукции, что b_i = a_i mod s. Одним из периодов последовательности {а_i} является n. Значит, n является периодом и для последовательности {b_i}. Известно, что любой период последовательности кратен ее минимальному периоду, Так как p, по определению, является минимальным периодом последовательности b_i, то n делится на p. — Примеч. ред.

10

Этот язык описан на стр.7–8 выше. Здесь лишь кратко напоминаются формы записи условных операторов и операторов цикла. — Примеч. ред.

11

В оригинале «master-mind». — Примеч. ред.

12

Так начинаются правила проведения автогонок. — Примеч. ред.

13

Напомним, что книга написана в начале 80-х годов. — Примеч. ред.

14

Таким образом, подсчитывается общая сумма карт, взятых партнерами, а не отдельные суммы для каждого партнера. — Примеч. ред.

15

Имеется в виду постановка Блезом Паскалем (1623–1662) вопроса о вере в существование бога как задачи о выборе стратегии в азартной игре («Мысли», отрывок 233): «Взвесим выигрыш и проигрыш, ставя на то, что бог есть. Возьмем два случая: если выиграете, вы выиграете все; если проиграете, то не потеряете ничего. Поэтому, не колеблясь, ставьте на то, что он есть» (Антология мировой философии в четырех томах, Том 2, М., «Мысль», 1970, С. 306). — Примеч. пер.

16

«Ослиным мостом», дальше которого учащегося сдвинуть трудно, считалась в XII–XIII вв. в Парижском университете либо теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, либо геометрическое доказательство теоремы Пифагора. — Примеч. пер.

17

Вот другая и, на мой взгляд, более правильная формулировка этой задачи: циклически сдвинуть элементы n-вектора на m позиций влево. — Примеч. ред.

18

Нужно было бы сказать «не убывает», но получилось бы совершенно не в стиле этой книги. — Примеч. ред.