Геометрия

Слово геометрия образовано от двух греческих слов – ge («земля») и metron («мера, измерение»). На первый взгляд, у измерения земли мало что общего с довольно абстрактной наукой, имеющей дело с треугольниками, углами и косинусами, но не спешите с выводами.

Греческие астрономы понимали, что Земля круглая, наблюдая за тенью, которую она отбрасывает на Луну во время лунного затмения, но они не знали, насколько она велика, до 200 года до н. э., когда Эратосфен придумал способ измерить окружность Земли. Из рассказов путешественников было известно, что в городе Сиена (современный Асуан в Египте) в день летнего солнцестояния солнце находится прямо над головой, так что освещает дно колодцев. В Александрии, где жил Эратосфен, такого никогда не наблюдалось. В день летнего солнцестояния Эратосфен измерил угол, под которым солнечные лучи падают на землю в Александрии, и обнаружил, что он равен 7° от вертикали. На основании этого он предположил, что расстояние между Александрией и Сиеной должно составлять 7/360 земной окружности (ведь окружность издавна делили на 360°). Расстояние между этими городами составляло 5000 стадиев (стадий – это древнегреческая мера длины, от названия которой происходит современное слово стадион). Умножив 5000 стадиев на 360/7, Эратосфен получил немногим более 250 000 стадиев, или примерно 42 000 км. По современным измерениям, окружность Земли равна примерно 40 000 км, так что Эратосфен ошибся всего лишь на 5 %.

Одно из нововведений, которые греки привнесли в математику и геометрию, было понятие доказательства. Блестящий тому пример – доказательство теоремы Пифагора. О самом Пифагоре сохранилось мало исторических свидетельств, но его теорему поколение за поколением заучивают ученики во всем мире.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Слово гипотенуза образовано от двух греческих слов, hypo - «под» и tenein - «протягивать». Если прямоугольный треугольник изобразить таким образом: то становится понятно, что гипотенуза – это «линия, протянутая внизу». Слово kathetos (катет) означает «отвес, перпендикуляр». Теорема была известна задолго до развития греческой цивилизации, но, пожалуй, греки были первыми, кто доказал ее.

Доказательство теоремы Пифагора… легким способом:

1. Возьмем прямоугольный треугольник (рис. 1).

2. Построим от его гипотенузы квадрат А (рис. 2).

3. Начертим еще три одинаковых треугольника по сторонам этого квадрата (рис. 3).

4. Переставим треугольники c - к a и b - к d (рис. 4).

5. Общая площадь получившихся фигур на рисунке 5 равна площади рисунка 3, но тут у нас получилось два новых квадрата: B на стороне длинного катета и C на стороне короткого катета.

6. Удалим треугольники с рисунков 3 и 5, и получим квадраты на рисунках 6 и 7.

7. Общая площадь рисунков 3 и 5 равна, поэтому, если удалить треугольники, то площадь получившихся квадратов также будет равной.

Следовательно: квадрат гипотенузы (рис. 6) равен сумме квадратов катетов (рис. 7).